Vektoren berechnung Dreiecke

Question

Aufgabe:

\( A(4|6| 0), B(0|7| 0) \) und \( C(2|4| 6) \) bilden das Dreieck \( A B C \).

Berechnen Sie den Winkel \( \gamma \) bei \( C \).

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \( A B C \).

Ermitteln Sie die Menge aller Vektoren, die senkrecht auf dem Dreieck \( A B C \) stehen.

Problem/Ansatz:

winkel und y und C und den flächeninhalt habe ich. Wie berechnet man die Menge aller Vektoren aber? Wenn jemand weiß bitte die ganze Aufgabe

Answer 1

Aloha :)

Für die folgenden Berechnungen brauchen wir die Vektoren:$$\overrightarrow{CA}=\vec a-\vec c=\begin{pmatrix}4\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-6\end{pmatrix}$$$$\overrightarrow{CB}=\vec b-\vec c=\begin{pmatrix}0\\7\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-6\end{pmatrix}$$

Der Cosinus des Winkels zwischen diesen Vektoren folgt aus dem Skalarprodukt:$$\cos\gamma=\cos\angle(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{BA})=\frac{\begin{pmatrix}2\\2\\-6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\-6\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}2\\2\\-6\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-2\\3\\-6\end{pmatrix}\right\|}=\frac{38}{\sqrt{44}\sqrt{49}}\approx0,8184$$$$\boxed{\gamma\approx35,0763^\circ}$$

Die Fläche des von den Vektoren \(\overrightarrow{CA}\) und \(\overrightarrow{CA}\) aufgespannten Parallelogramms ist gleich dem Betrag des Vektorprodukts. Die Hälfte davon ist daher die Fläche des Dreiecks:$$F=\frac{1}{2}\left\|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}\right\|=\frac{1}{2}\left\|\begin{pmatrix}2\\2\\-6\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\3\\-6\end{pmatrix}\right\|=\frac{1}{2}\left\|\begin{pmatrix}-12-(-18)\\12-(-12)\\6-(-4)\end{pmatrix}\right\|$$$$\phantom{F}=\frac{1}{2}\left\|\begin{pmatrix}6\\24\\10\end{pmatrix}\right\|=\frac{1}{2}\sqrt{6^2+24^2+10^2}\approx\boxed{13,3417}$$

Das gerade berechnete Vektorprodukt steht senkrecht auf der Dreieck-Ebene und damit auch alle Vielfachen davon:$$\boxed{\vec n=\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\12\\5\end{pmatrix}\quad;\quad\lambda\in\mathbb R}$$Um das Ergebnis etwas hübscher zu schreiben, habe ich die Komponenten des oben berechneten Normalenvektors halbiert, aber das ist Kosmetik.

Answer 2

Du brauchst nur EINEN Vektor finden, der auf dem Dreieck senkrecht steht. Die übrigen Vektoren sind Vielfache davon.

Hast du die Fläche mit dem Vektorprodukt berechnet? Dann hättest du auch einen senkrechten Vektor.

Answer 3

A = [4, 6, 0] ; B = [0, 7, 0] ; C = [2, 4, 6]

CA = [2, 2, -6] ; CB = [-2, 3, -6]

a) Winkel
γ = ARCCOS( [2, 2, -6]·[-2, 3, -6] / (|[2, 2, -6]|·|[-2, 3, -6]|) ) = 35.08°

b) Normalenvektoren
[2, 2, -6] ⨯ [-2, 3, -6] = [6, 24, 10] = 2·[3, 12, 5] → k·[3, 12, 5]

c) Fläche
1/2·|[6, 24, 10]| = √178 = 13.34

Answer 4

Seien a, b Vektoren mit ℝ³, dann ist das Kreuzprodukt c ( oder auch Vektorprodukt, der Vektor, der auf a und b senkrecht steht.

a×b= c=

( a2*b3 - a3*b2; a3*b1-a1*b3; a1*b2-a2*b1)

Sei nun P ein Punkt der Ebene gegeben, dann liegen die Punkte P+k*c auf einer Senkrechten zur Ebene.