Die Umkehrung des Satzes

Question

Aufgabe: Die Umkehrung eines Satzes

Problem/Ansatz: wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß sind, dann sind die Gegenseiten gleich lang.

Stimmt es? Wie kann man es beweisen, dass es stimm?

Answer 1

Würde mal den Sinussatz in den Raum werfen.

Comments

Autsch. Damit wirfst du mit Kanonen auf Spatzen.

Man kann vom "dritten" Punkt das Lot auf die gegenüberliegende Strecke fällen.

Die beiden entstehenden Teildreiecke sind (mit Mitteln der Klasse 6 oder 7) übereinstimmend in:

gemeinsame Lotstrecke

rechter Winkel

gegebene kongruente Winkel

(aus der Übereinstimmung von je zwei Innenwinkeln ergibt sich auch die Übereinstimmung des dritten Winkelpaares, somit kann der Kongruenzsatz "wsw" angewendet werden).

In kongruente Dreiecken sind auch einander entsprechende Strecken kongruent.

Answer 2

Die erste Idee war der Sinussatz.

Doch es geht bestimmt einfacher über die Höhe, dann ist der Sinus gleich und somit der Winkel.

Comments

Gleicher Sinus heißt nicht automatisch gleicher Winkel. Es gilt z.B. sin 30°=sin 150°.

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Fallen dir auch noch zwei Winkel ein, deren Summe kleiner als 180° oder 2π ist? Wir befinden uns im Dreieck, so habe ich es verstanden.

Natürlich geht es über den Pythagoras und SSS oder Winkelhalbierende SWS, viele Wege führen nach Rom.

Answer 3

wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß sind, dann sind die Gegenseiten gleich lang.

Das stimmt.

Sei ABC ein Dreieck in dem α und β die gleich großen Winkel sind (Standardbezeichnungen).

Sei A'B'C' ein weiteres Dreieck mit den Winkeln α' (bei A') und β' (bei B'). In diesem Dreieck sei α' = β' und α = α' und β = β'.

Außerdem sei |AC| = |A'C'|.

Laut Kongruenzsatz WSW sind die Dreiecke ABC und A'B'C' kongruent.

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Ecken des Dreiecks ABC auf die Ecken des Dreiecks A'B'C' abzubilden.

1. A → A', B → B', C → C'
   
2. A → B', B → A', C → C'
   

Laut der ersten Möglichkeit ist

        |AC| = |A'C'|

wegen WSW. Laut der zweiten Möglichkeit ist

        |AC| = |B'C'|

wegen WSW. Also ist |A'C'| = |B'C'|. Wegen WSW ist dann auch

        |AC| = |BC|.