Skizze:
Das Volumen berechnet man mit dem Integral:
$$ \iiint_B 1 ~\textrm{d}\mathbf{x} $$
Koordinatentransformation ergibt:
$$\iiint_B r ~\textrm{d}r ~\textrm{d}\varphi ~\textrm{d}z $$
(Die Jacobideterminante der Transformation von kartesischen auf zylindrische Koordinaten ist \( r \))
Die Grenze der einzelnen Zylinderkoordinaten sind:
$$ r^2 -1 \le z \implies r^2 \le z + 1 \implies r \le \sqrt{z+1} $$
$$ z \in [-1,3], \varphi \in [0,2\pi] $$
Also
$$ \begin{aligned} \iiint_B r ~\textrm{d}r ~\textrm{d}\varphi ~\textrm{d}z &= \int_{-1}^{3} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{z+1}} r ~\textrm{d}r ~\textrm{d}\varphi ~\textrm{d}z \\ &= \int_{-1}^{3} \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{1}{2}r^2 \right]_0^{\sqrt{z+1}} ~\textrm{d}\varphi ~\textrm{d}z \\ &= \int_{-1}^{3} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}(z+1) ~\textrm{d}\varphi ~\textrm{d}z \\ &= \pi \int_{-1}^{3} (z+1) ~\textrm{d}z \\ &= \pi \left[\frac{1}{2}z^2 +z\right]_{-1}^{3} \\&=8\pi \end{aligned}$$
