Aufgabe:
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2 Die obere Randkurve des um \( 90^{\circ} \) gekippten rotationssymmetrischen Rückhaltebeckens in Material 2 kann durch den Graphen der Funktion \( g \) mit \( g(x)=\sqrt{60 x}, x \geq 0 \), beschrieben werden. Die Tiefe des Rückhaltebeckens wird mit \( H \) und der Durchmesser mit d bezeichnet. Alle Längenangaben erfolgen dabei in Meter.
2.1 Zeigen Sie, dass für das Volumen des Rückhaltebeckens \( \mathrm{V}=\pi \cdot 30 \mathrm{H}^{2} \) gilt. Berechnen Sie die Tiefe H und den Durchmesser d des Rückhaltebeckens, wenn dieses ein Fassungsvermögen von \( 3000 \mathrm{~m}^{3} \) besitzt.
(5 BE)
2.2 Das vollgelaufene Rückhaltebecken wird bei konstanter Abflussrate in 100 Stunden wieder völlig entleert.
2.2.1 Entscheiden Sie ohne eine Rechnung, ob nach 50 Stunden die Höhe des Wasserstandes im Rückhaltebecken auf der halben Höhe über dem Beckenboden oder darüber bzw. darunter liegt.
(2 BE)
2.2.2 Begründen Sie, dass für die Regenwassermenge (in \( \mathrm{m}^{3} \) ), die sich zum Zeitpunkt \( \mathrm{t} \) nach Beginn der Entleerung noch im Rückhaltebecken befindet, gilt: \( V(t)=-30 t+3000 \)
(3 BE)
2.2.3 Leiten Sie mithilfe der Formeln aus Aufgabe 2.1 und Aufgabe 2.2.2 für die Höhe des Wasserstands über dem Beckenboden bei der Entleerung die Formel \( h(t)=\sqrt{\frac{1}{\pi}(100-t)} \) her.
Problem/Ansatz:
Wie soll man bei 2.2.1 und 2.2.3 vorgehen?
