Volumen und Oberfläche eines Spats

Question

Aufgabe

Es wurde gefragt, die Oberfläche und das Volumen des durch die Vektoren aufgespannten Spats zu berechnen:

\( \begin{pmatrix} 2\\6\\3 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 4\\1\\-2 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\5 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz

Ich habe V_Spat= 141 gefunden aber ich weiss nicht, was die Oberflache ist.

Answer 1

Aloha :)

Das Volumen ist gleich dem Betrag der Deteminante:$$V=\operatorname{abs}\left(\left|\begin{array}{r}2 & 4 & 1\\6 & 1 & -2\\3 & -2 & 5\end{array}\right|\right)=|2(5-4)-6(20+2)+3(-8-1)|=157$$

Die 3 Seitenflächen des Spates erhalten wir aus den Beträgen der Vektorprodukte:

$$F_1=\left|\left(\begin{array}{r}2\\6\\3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r}4\\1\\-2\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c}-12-3\\12-(-4)\\2-24\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c}-15\\16\\-22\end{array}\right)\right|=\sqrt{965}$$

$$F_2=\left|\left(\begin{array}{r}2\\6\\3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r}1\\-2\\5\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c}30-(-6)\\3-10\\-4-6\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c}36\\-7\\10\end{array}\right)\right|=\sqrt{1445}$$

$$F_3=\left|\left(\begin{array}{r}4\\1\\-2\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r}1\\-2\\5\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c}5-4\\-2-20\\-8-1\end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c}1\\-22\\-9\end{array}\right)\right|=\sqrt{566}$$

Da es jede Seite 2-mal gibt beträgt die gesamte Oberfläche:$$O=2(F_1+F_2+F_3)\approx2\cdot92,8684\approx185,74$$

Comments

hi Tschakabumba,

Danke für Ihre Antwort aber ich wollte fragen wie Sie zu 1445, 566 und 965 zu kommen

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$$\sqrt{(-15)^2+16^2+(-22)^2}=\sqrt{965}$$$$\sqrt{36^2+(-7)^2+10^2}=\sqrt{1445}$$$$\sqrt{1^2+(-22)^2+(-9)^2}=\sqrt{566}$$

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danke :)

ICH HABE NOCH EINE FRAGE ABER ES GEHT UM DIE SENKRECHT

ich habe einen Punkt(2,0,1) und E1: x+y-z=2   E2= 2x-y-z=0

die Frage ist :geben Sie eine Gerade an ,die in E1 liegt und senkrecht zur Schnittgerade der beiden Ebenen Verläuft.

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Deine neue Frage ist ein bisschen Rechnerei...

Es ist auch immer ungeschickt, wenn man in einem Thread mehrere Fragen vermischt. Könntest du daher bitte erst diesen Thread hier abschließen und dann deine Frage von oben als neue Frage einstellen?

Dann kann man später auch einfacher nach ähnlichen Fragen suchen.

Answer 2

Die Oberfläche besteht aus den Flächen der 6 Parallelogramme, die die Seitenflächen des Spats sind.

Du musst also 6 (bzw. eigentlich nur 3) Parallelogrammflächen berechnen.

Comments

das heißt 1/3*Vs?

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Nein, das heißt es mit Sicherheit nicht.

Weißt du, wie ein Spat aussieht?

Weißt du, was ein Parallelogramm ist?

Weißt du, dass ein Parallelogramm von zwei Vektoren aufgespannt wird?

Weißt du, welche Rolle der Betrag des Vektorprodukts von zwei Vektoren spielt?

Answer 3

Vektoren haben die Fläche Null,

und das Volumen ist auch gleich Null.

Ein Vektor allein, hat weder ein Volumen, noch eine Fläche, erst zwei linear unabhängige Vektoren, können eine Fläche aufspannen. Um gar ein Volumen zu beschreiben, benötige wir 3 linear unabhängige Vektoren.