Addieren von 3 Brüchen mit Unbekannten

Question

Aufgabe:

Fassen Sie folgende Summe zu einem Bruch zusammen:

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}+\frac{2ab}{b^2-a^2}$$

Problem/Ansatz:

Wie ich angefangen habe:

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}+\frac{2ab}{b^2-a^2}$$ 

Formal für Addition genutzt: $$\frac{ad+bc}{bd}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$$

$$\frac{a(a-b)+b(a+b)}{(a+b)(a-b)}+\frac{2ab}{b^2-a^2}$$

Dann ausgerechnet:

$$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}+\frac{2ab}{b^2-a^2}$$

Und jetzt wieder die Formel für Addition genutzt:

Hier das Ergebnis dann ausgerechnet:

$$\frac{-a^4+b^4+2a^3b+2ab^3}{2a^2b^2-a^4-b^4}$$

Kann ich jetzt noch was machen? Weil das sieht nicht zusammengefasst aus, aber es ist auf einem Bruch.

Answer 1

Aloha :)$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}+\frac{2ab}{b^2-a^2}$$$$=\frac{a}{b+a}-\frac{b}{b-a}+\frac{2ab}{b^2-a^2}$$$$=\frac{a(b-a)}{(b+a)(b-a)}-\frac{b(b+a)}{(b-a)(b+a)}+\frac{2ab}{b^2-a^2}$$$$=\frac{ab-a^2}{b^2-a^2}-\frac{b^2+ab}{b^2-a^2}+\frac{2ab}{b^2-a^2}$$$$=\frac{ab-a^2-b^2-ab+2ab}{b^2-a^2}=\frac{-a^2-b^2+2ab}{b^2-a^2}=-\frac{a^2+b^2-2ab}{b^2-a^2}$$$$=-\frac{(a-b)^2}{(b-a)(b+a)}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(b+a)}=\frac{a-b}{a+b}$$

Answer 2

Es ist alles gut gewesen, bis du als letzten Schritt erneut deine Additionsformel angewendet hast.

Versuch Folgendes:

$$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} + \frac{2ab}{b^2-a^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a-b)^2}{a^2-b^2} = \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a-b}{a+b}$$

Comments

Wie hast du das gemacht, dass du im zweiten Bruch die Vorzeichen gewechselt hast. Hast du mit mit -1 erweitert? Dann müssten sich doch auch die Vorzeichen in dem ersten Bruch ändern oder?

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Ich habe den zweiten Bruch mit -1 erweitert:

$$\frac{2ab}{b^2-a^2} = \frac{-1\cdot 2ab}{-1\cdot (b^2-a^2)} = \frac{-2ab}{a^2-b^2} $$

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Ok. Also darf man jeden Bruch mit -1 erweitern? Oder muss er da bestimmte Kriterien erfüllen?

$$\frac{5}{10}+\frac{5}{10}=1$$

$$\frac{5}{10}+\frac{-5}{-10}=1$$

$$\frac{-5}{-10}+\frac{-5}{-10}=1$$

Mhh. ok ich habe es denke ich selbst herausgefunden. Also ist es bei Brüchen quasi egal ob die + oder - sind. Da eh immer das selbe raus kommt? Und oben konnten wir halt durch den Vorzeichenwechsel alles auf einen Nenner bringen.

Danke dir!