Achtung. Ich weiß, dass es so in der Schule nicht gelehrt wird. Ich hoffe aber trotzdem das mein Beitrag eventuell ein wenig das Verständnis für Funktionen schärft. Man kann also viel schon ablesen ohne irgenwelche Ableitungen zu bilden.
a)
f(x) = - 1/2·x^2 - 4·x = - 1/2·x·(x + 8)
Eine nach unten geöffnete Parabel hat einen Hochpunkt dessen x-Koordinate zwischen den Nullstellen (sofern vorhanden) liegt.
b)
f(x) = 1/50·x^3 - 1.5 entsteht aus der Funktion y = x^3 die mit dem Faktor 1/50 in y-Richtung gestaucht und um 1.5 nach unten verschoben wurde. Sie hat also wie x^3 einen Sattelpunkt, der hier also bei (0 | -1.5) liegt, weil der Sattelpunkt ja auch nur um 1.5 nach unten verschoben wurde.
c)
f(x) = 0.5·x^4 - x^3 = 1/2·x^3·(x - 2)
x = 0 ist eine dreifache Nullstelle und damit schon ein Sattelpunkt. Da eine nach oben geöffnete Funktion 4. Grades drei Extrempunkte haben könnte und ein Sattelpunkt schon zwei verbrät hat man noch ein Extrempunkt der ein Tiefpunkt sein muss. Dieser muss auch irgendwo zwischen den Nullstellen liegen. Wo genau kann man aber so direkt nicht ablesen.
f'(x) = 2·x^3 - 3·x^2 = x^2·(2·x - 3) = 0
Hier ist x = 1.5 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von - nach + und damit ein Tiefpunkt. Die y-Koordinate bekommt man durch einsetzen in f(x). Die doppelte Nullstelle bei 0 deutet auf einen Sattelpunkt hin. Den kannte man aber schon.
f(1.5) = -0.84375 → TP(1.5 | -0.84375)
