Berechnen Sie den Abstand von g und h.

Question

Aufgabe:

4. Gegeben sind die beiden Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 7 \\ -6\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 0\end{array}\right) \) und \( h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}2 \\ -3 \\ 7\end{array}\right)+\mathrm{s} \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \)
a) Berechnen Sie den Abstand von g und h.
b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Parallelen zu g, welche die Gerade h schneidet und den geringsten Abstand zu g hat.

Problem/Ansatz:

a) Hier habe ich 14 LE berechnet.

b) Hier fehlt mir irgendwie eine Idee.

Answer 1

a)

Normalenvektor bestimmen

[2, 3, 0] ⨯ [2, 0, -1] = [-3, 2, -6]

[2, 7, -6] + r·[2, 3, 0] + s·[-3, 2, -6] = [2, -3, 7] + t·[2, 0, -1] --> r = -2 ∧ s = -2 ∧ t = 1

Abstand

2·|[-3, 2, -6]| = 14

Parallele Gerade durch h parallel zu g

X = [2, -3, 7] + 1·[2, 0, -1] + r·[2, 3, 0]
X = [4, -3, 6] + r·[2, 3, 0]

Answer 2

Bestimme die beiden Punkte, die den Abstand 14 LE haben und lege die

Parallele durch den Punkt auf h.

Answer 3

Der berechnete Abstand 14 stimmt.

Nun wissen wir aber nicht, wie du diesen Abstand genau ermittelt hast.

Falls du die Endpunkte G und H der kürzesten Transversalen (Verbindungsstrecke) von g und h berechnet hast, dann wäre die gesuchte Gerade einfach die Parallele zur Geraden g durch den Punkt H.

Falls du den Punkt H noch nicht ermittelt haben solltest:  H ist der Schnittpunkt von h mit einer Hilfsebene, die g enthält und zu h normal steht.