Begründen Sie, dass sich für keinen Wert des Parameters der rechts abgebildete Graph ergibt.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktionen \( f_{a} \) mit \( f_{a}(x)=2 x^{3}+a x+1 \) in Abhängigkeit vom Parameter a.
(1) Begründen Sie, dass sich für keinen Wert des Parameters
der rechts abgebildete Graph ergibt.
(2) Ermitteln Sie, für welche Werte von a der Graph der Funktion \( f_{a} \) keine waagereichten Tangenten hat.
(3) Untersuchen Sie, ob es einen Wert für den Parameter a gibt, sodass der Graph von \( f_{\mathrm{a}} \) einen Sattelpunkt aufweist.

Text erkannt:

4

Problem/Ansatz:

(1) Hier habe ich überlegt, einen beliebigen Wert (z.B. 1) einzusetzen und dann zu zeigen, dass es nicht geht.

(2) Hier fehlt mir leider jegliche Idee.

(3) Hier würde ich die zweite Ableitung der Schar auf null setzen. Aber der genaue Plan fehlt mich auch hier.

Comments

Es geht aber nicht darum, dass es für a=1 nicht geht.

Es geht darum, dass es ÜBERHAUPT kein a gibt, wo es gehen könnte.

Betrachte das Verhalten deiner Funktion im Unendlichen. Es hängt NICHT von a ab.

Hast du bei (2) schon mal daran gedacht, die erste Ableitung zu bilden?

---

f(-∞)>0 ; f(+∞)<0

Richtig ist aber f(-∞)<0 ; f(+∞)>0

Für a>0 ist es im ℝ nicht möglich, die Nullstellen der Ableitung zu finden.

Einen Sattelpunkt hat die Funktion immer, aber nur einen hat sie, wenn a=0.

---

(1) habe ich jetzt. Bei (2) habe ich leider ein Brett vorm Kopf was ich mit der Ableitung anfangen soll.

Bei (3) habe ich das jetzt so verstanden, die Funktion nach a aufzulösen. Aber ich habe doch x und a als unbekannte?

---

f'(x)= 6x² +a =0

6x²= - a

x² = -a/6

Für a ≤ 0 kanst du die Wurzel ziehen.

Doch wenn a>0 wird der Wert unter der Wurzel negativ, dann gibt es im ℝ keine Lösung.

Answer 1

zu (1): Werte einsetzen ist hier wohl nicht zielführend, aber versuchen kannst du es natürlich. Ich würde das Globalverhalten des Graphen mit dem von f_{a} vergleichen.

zu (2) und (3): Lass das mal von einem GTR zeichnen und füge die Gerade y=ax+1 hinzu. Lege für a einen Schieber etwa von -2 bis 2 an und schau, was passiert.

Comments

Hier ein Beispiel:

Answer 2

fa(x) = 2·x^3 + a·x + 1

1) Begründen Sie, dass sich für keinen Wert des Parameters
der rechts abgebildete Graph ergibt.

Der Graph von fa verläuft vom III. in den I. Quadranten. Dazu passt die Abgebildete Funktion nicht!

2) Ermitteln Sie, für welche Werte von a der Graph der Funktion fa keine waagereichten Tangenten hat.

fa'(x) = 6·x^2 + a = 0 --> x = ± √(-a/6)

Es gibt für a > 0 keine Lösungen, weil die Diskriminante negativ wird.

3) Untersuchen Sie, ob es einen Wert für den Parameter a gibt, sodass der Graph von fa einen Sattelpunkt aufweist.

Für a = 0 Ist die Diskriminante Null und damit hat die Ableitung eine doppelte Nullstelle. D.h. eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel und damit einen Sattelpunkt.

Comments

3) ist es dann richtig 2x^3+1=0 zu lösen? Irgendwie habe ich ein richtiges Brett vorm kopf...

Answer 3

(1) Betrachte große Werte für x, z.B. x=100.

Dann ist f(x)≈+1000000, also positiv. Im Bild gehen die Funktionswerte abe gegen -∞.

Für die beiden anderen Teilaufgaben ist es wichtig, zu wissen, dass die Kurve in der Nähe der y-Achse durch den linearen Term ax+1 angenähert wird und dass sie punktsymmetrisch zum Punkt (0|1) ist.

Damit ist klar, dass für a<0 keine waagerechte Tangente existieren kann.

Für a=0 gibt es einen Sattelpunkt.

Comments

Für die beiden anderen Teilaufgaben ist es wichtig, zu wissen, dass ...

Ich glaube, diese Antwort geht am Problem vorbei. Auf meinen Hinweis

Hast du bei (2) schon mal daran gedacht, die erste Ableitung zu bilden?

hat der Fragesteller erkennen lassen, dass er keinerlei Zusammenhang zwischen erster Ableitung und Tangentenanstieg erkennen kann. Glaubst du unter dieser Voraussetzung ernsthaft, dass er irgendetwas mit einer linearen Näherung in der Nähe der y-Achse anfangen kann?

---

@abakus

Vermutlich nicht, aber es kann ja nicht schaden, was Neues zu lernen.

:-)