Antwort mit KI erzeugt
Einleitung
Die Berechnung der arithmetischen und geometrischen Rendite ist ein wesentlicher Bestandteil der Finanzmathematik, da sie Investoren und Analysten eine Möglichkeit bietet, die durchschnittliche Rendite über einen bestimmten Zeitraum zu bewerten. In dieser Ausarbeitung werden wir untersuchen, ob diese Berechnungen sowohl für diskrete als auch für stetige Renditen anwendbar sind.
Arithmetische Rendite
Die arithmetische Rendite ist der einfache Durchschnitt der Renditen über mehrere Perioden. Sie wird berechnet als:
\(
R_{\text{arith}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i
\)
wobei \( r_i \) die Rendite in der \( i \)-ten Periode und \( n \) die Anzahl der Perioden ist.
Geometrische Rendite
Die geometrische Rendite, auch als Durchschnittsrendite bekannt, berücksichtigt die Zusammensetzung mehrerer Renditen über die Zeit. Sie wird berechnet als:
\(
R_{\text{geom}} = \left( \prod_{i=1}^{n} (1 + r_i) \right)^{\frac{1}{n}} - 1
\)
Diskrete Renditen
Diskrete Renditen beziehen sich auf Renditen, die in bestimmten, getrennten Zeitintervallen gemessen werden (z.B. jährliche oder monatliche Renditen). Die oben angegebenen Formeln für arithmetische und geometrische Renditen gelten direkt für diskrete Renditen.
Stetige Renditen
Stetige Renditen werden kontinuierlich über die Zeit berechnet und oft mit der natürlichen Logarithmusfunktion dargestellt. Wenn \( P_0 \) der Anfangspreis und \( P_T \) der Endpreis ist, dann ist die stetige Rendite \( r \) definiert als:
\(
r = \ln\left(\frac{P_T}{P_0}\right)
\)
Um die arithmetische und geometrische Rendite für stetige Renditen zu berechnen, folgt man einem ähnlichen Ansatz wie bei diskreten Renditen, wobei die stetigen Renditen in die Formel eingesetzt werden.
Arithmetische Rendite für stetige Renditen
Angenommen, wir haben \( n \) stetige Renditen \( r_1, r_2, \ldots, r_n \):
\(
R_{\text{arith}, \text{stetig}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i
\)
Geometrische Rendite für stetige Renditen
Hier muss man beachten, dass für stetige Renditen die geometrische Betrachtung etwas anders ist. Man kann sich dabei der Beziehung zwischen diskreten und stetigen Renditen bedienen:
\(
1 + R_{\text{geom}} = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i\right)
\)
wobei \(\exp(x)\) die Exponentialfunktion ist. Daraus folgt, dass die geometrische Rendite für stetige Renditen wie folgt berechnet wird:
\(
R_{\text{geom}, \text{stetig}} = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i\right) - 1
\)
Zusammenfassung
Die Berechnung der arithmetischen und geometrischen Renditen ist sowohl für diskrete als auch für stetige Renditen möglich, jedoch unterscheiden sich die Formeln geringfügig aufgrund der Natur der Renditen.
Für
diskrete Renditen:
- Arithmetische Rendite: \( R_{\text{arith}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i \)
- Geometrische Rendite: \( R_{\text{geom}} = \left( \prod_{i=1}^{n} (1 + r_i) \right)^{\frac{1}{n}} - 1 \)
Für
stetige Renditen:
- Arithmetische Rendite: \( R_{\text{arith}, \text{stetig}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i \)
- Geometrische Rendite: \( R_{\text{geom}, \text{stetig}} = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i\right) - 1 \)
In beiden Fällen gibt es klare Methoden zur Berechnung der Renditen, und beide Metriken können somit sowohl für diskrete als auch für stetige Renditen angewendet werden.
