Lineare Algebra Körper/Vektoren Uni-Niveau

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Zeigen Sie: zwei Vektoren v1 = (x1, y1), v2 =
(x2, y2) in K²
sind genau dann linear abhängig, wenn x1y2 − x2y1 = 0 ist. Folgern Sie daraus,
dass die Familie (v1, v2) genau dann linear unabhängig ist, wenn die Vektoren u = (x1, x2) und
w = (y1, y2) linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Komme nicht weiter...

Answer 1

Seien v1 = (x1, y1), v2 =(x2, y2) in K^2 linear abhängig.

==>  Es gibt a∈K mit v1 = a*v2 oder v2=a*v1.

Nehmen wir o.B.d.A. das erste an

==>  x1=a*x2 und y1=a*y2

1. Fall x2=0 ==>  x1=0 also auch x1y2 − x2y1 = 0

2. Fall x2≠0 ==> a=x1/x2 .
Dann folgt aus  y1=a*y2 und durch Einsetzen

                        y1=(x1/x2)*y2  | *x2

        <=>              y1*x2 = x1*y2

       <=>   0  = x1*y2  -  y1*x2         q.e.d.

Answer 2

"Genau dann, wenn" bedeutet, dass beide Richtungen gezeigt werden müssen.

Beh. v1, v2 lin. abh. → x1y2-x2y1=0

v1=r*v2

-----------------

x1=r*x2   |*y2

y1=r*y2    |*x2

--------------------

x1*y2=r*x2*y2

y1*x2=r*y2*x2

Beide Gleichungen subtrahieren → Beh.

Gegenrichtung:

Beh.

x1y2-x2y1=0 → v1,v2 lin. abh.

x1y2=x2y1

x1/x2=y1/y2=r für x2,y2≠0

x1=r*x2 und y1=r*y2

--> v1, v2 lin. abh.

Für x2=0 oder y2=0 kannst du es bestimmt selbst zeigen.

-------------

Wenn du die lineare Abhängigkeit von v1 und v2 mit der von u und v vergleichst, untersuchst du x1y2-x2y1=0 und x1y2-y1x2=0.

Du siehst, dass die Faktoren im Subtrahenden vertauscht wurden, was wegen der Kommutativität der Multiplikation erlaubt ist.

Answer 3

Aloha :)

Eine n-dimensionale Determinante gibt stets das n-dimensionale Volumen an, das die Spalten- oder Zeilenvektoren aufspalten. Die Determinante von zwei 2-dimensionalen Vektoren ist:$$\left|\begin{array}{r}x_1 & x_2\\y_1 & y_2\end{array}\right|=x_1y_2-x_2y_1$$Ist die Determinante null, spannen die beiden Spaltenvektoren keine Fläche auf und sind linear abhängig voneinander. Ist die Determinante von null verschieden, spannen die beiden Spaltenvektoren eine Fläche auf und sind linear unabhängig.