Hallo liebe Matheliebhaber,
wäre jemand so nett und würde mir diese Multiple Choice Aufgabe (wahr oder falsch) lösen? (besonders Aussage 8 und 6)
Ich habe die Aufgabe selbst bearbeitet (siehe unten) und hätte gerne einen Abgleich.
Ich freue mich auch über Ansätze oder Lösungen zu nur bestimmten Aussagen.
Gerne auch mit einer kurzen Begründung!
Viele Grüße
Aufgabe:
1. Seien \( \mathcal{M}, \mathcal{N} \) beliebige Mengen. Gilt \( \mathcal{M} \cup \mathcal{N}=\mathcal{N} \cap \mathcal{M} \), so folgt \( \mathcal{M}=\mathcal{N} \).
2. Die Vektoren \( v_{1}, \ldots, v_{N} \in V \) sind linear unabhängig, wenn \( v_{1} \) nicht als Linearkombination von \( v_{2}, \ldots, v_{N} \) dargestellt werden kann.
3. Für alle Matrizen \( A \in \mathbb{R}^{N \times N} \) und alle Diagonalmatrizen \( D \in \mathbb{R}^{N \times N} \) gilt \( A D=D A \).
4. Jede Permutationsmatrix ist orthogonal.
5. Es gilt \( \operatorname{det}(\mu A)=\mu \operatorname{det}(A) \) für alle \( A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) und \( \mu \in \mathbb{R} \).
6. Jedes nicht-konstante Polynom zerfällt über \( \mathbb{C} \) in Linearfaktoren.
7. Es gilt \( A^{\top} B^{\top}=(A B)^{\top} \) für alle Matrizen \( A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \).
8. Für eine Matrix \( A \in \mathbb{C}^{N \times N} \) und \( x \in \mathbb{C} \) ist \( A-x I_{N} \) genau dann singulär, wenn \( x \) ein Eigenwert von \( A \) ist.
9. Für eine symmetrische und positiv definite Matrix \( A \in \mathbb{R}^{N \times N} \) ist durch \( \langle x, y\rangle=x^{\top} A y \) ein Skalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{N} \) definiert.
10. Für das Standardskalarprodukt \( \langle,, \cdot\rangle \) auf \( \mathbb{R}^{N} \) und die zugehörige induzierte Norm \( \|\cdot\| \) gilt \( |\langle x, y\rangle| \leq\|x\|+\|y\| \) für alle \( x, y \in \mathbb{R}^{N} \).
Meine Lösung:
