Umformung einer Summe erklären

Question

Vollständige Aufgabe ist viel größer und eigentlich unrelevant, ich habe lediglich beim Verständnis des Rechenwegs des Lösungsvorschlags ein Verständnisproblem. Im Lösungsvorschlag wird eine Umformulierung gemacht, diese ist auch richtig (zumindest eine kurze Überprüfung bei WolframAlpha kommt auf das gleiche Ergebnis). Und zwar möchte ich wissen, wie diese Umformung geht, wahrscheinlich über irgendeine Reihe oder so, nur komme ich gerade nicht darauf. Wäre schön wenn mir jemand diesen einen Schritt erklären könnte.

\( \sum\limits_{i=1}^{n-1}{2^i·\frac{1}{2n}} = \frac{2^n-2}{2n}\)

Comments

Für \( q \neq 1 \) gilt

$$ a \cdot \sum_{i=0}^{n-1} q^i = a \cdot \frac{q^{n}-1}{q-1} $$

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Answer 1

Die Summe (ohne den Faktor *1/(2n) ist eine geometrische Summe mit dem Quotienten 2. Ihr Wert ist ( s. Kommentar) 2^n-2.

Und mal 1/(2n) gibt das angegebene Erg.

Comments

Danke, die geometrische Reihe hatte ich auch im Kopf. Bei mir hat sich nur ein Denkfehler eingeschlichen. Im Lösungsansatz steht diese Umformung innerhalb einer weiteren Summe über n, weshalb ich fälschlicherweise angenommen habe, dass ich den 1/(2n) Teil nicht herausziehen darf und deswegen die geometrische Reihe nicht anwenden kann. Aber kann man eben schon, dann war ich ja doch nicht so weit weg :)