Wie berechne ich diese Ableitung mit h methode?

Question

Aufgabe:

Ableitung f(x)=x^4 an der Stelle x0=2

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich diese Ableitung mit h methode?

Answer 1

Aloha :)

Bestimme zunächst den Differenzenquotienten:

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^4-x^4}{h}=\frac{(x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4)-x^4}{h}$$$$=\frac{4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4}{h}=4x^3+6x^2h+4xh^2+h^3$$Dann bildest du den Differentialquotienten, also den Grenzwert des Differenzenquotienten für \(h\to0\):$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(4x^3+6x^2h+4xh^2+h^3\right)=4x^3$$Die Ableitung ist also:$$f'(x)=4x^3$$