Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion ohne vorgegebenen Grad

Question

Aufgabe:

Der Graph hat den Wendepunkt W(0/1)und berührt die Parabel mit der Gleichung g(x)=x^2+x in ihrem Scheitelpunkt.

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion.

Problem/Ansatz: Ich weiß nur:

f(0)=1

f''(0)=0

f(0)=0

Der Teil zwei macht mich verwirrt.

Answer 1

Der Graph hat den Wendepunkt W(0/1)und berührt die Parabel mit der Gleichung g(x)=x^2+x in ihrem Scheitelpunkt.
f ist die Funktion
f ( 0 ) = 1
f ´´ ( 0 ) = 0 ( Krümmung )
Parabel
g ( x ) = x^2 + x
g ´( x ) = 2 * x + 1
Scheitelpunkt
2 * x + 1 = 0
x = - 1/2
g ( -1/2 ) = 1/4 -1/2 = - 1/4
S ( -1/2 | -1/4 )
Der Graph hat den Wendepunkt W(0/1)und berührt die Parabel mit der Gleichung g(x)=x^2+x in ihrem Scheitelpunkt.

gleiche Koordinaten
f ( - 1/2 ) = g ( -1/2 ) = -1/4
gleiche Steigung
f ´( -1/2 ) = 0

Daraus ergibt sich
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c*x + d
f ´( x ) = 3 * a * x ^2 + 2 * b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2*b
f ( 0 ) = a * 0 + b * 0 + c * 0 + d = 1  => 1
f ´´ ( 0 ) = 6 * a * 0 + 2b = 0 => b = 0
----------------------------
f ( x ) = a * x^3 + c * x + 1
f ´ ( x ) =  3 * a * x ^2 +  c
gleiche Koordinaten
f ( - 1/2 ) = a * (-1/2)^3 + c * (-1/2 ) + 1 = -1/4
gleiche Steigung
f ´( -1/2 ) =  3 * a * (-1/2) ^2 + c = 0
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
- 1/8 * a - 1/2 * c = -1/4
3/4 * a + c = 0
a = -5
c = 15/4

f = -5 * x^3 + 15 / 4 * x + 1

Comments

ich hätte diesbezüglich 2 fragen:

Die eine wäre, wie kommen sie darauf, dass der Punkt -1/2 ist? Soll die -1 der x-Wert und die 2 der y-wert sein? Zweitens, wieso dann dieses -1/4?

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Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei x = -1/2 und y = -1/4

~plot~ x^2+x ~plot~

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Die eine wäre, wie kommen sie darauf, dass der Punkt -1/2 ist? Soll die -1 der x-Wert und die 2 der y-wert sein? Zweitens, wieso dann dieses -1/4 ?
-1 Schrägstrich 2 heißt = -1/2
und ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts.
Eingesetzt in
g ( x ) = x^2 + x
g ( -1/2 ) = (-1/2)^2 -1/2 = - 1/4

Scheitelpunkt ( -1/2 | - 1/4 )

Frag nach bis alles klar ist.

Answer 2

Der Scheitel der Parabel f(x)=x^2+x liegt bei S(-0,5|-0,25) und W (0|1)

Parabel 3.Grades liegen punktsymmetrisch zum Wendepunkt und haben die Form :

f(x)= a*x^3+bx+c

W (0|1) liegt auf der Parabel

f(0)= a*0^3+b*0+c

1.)c=1->f(x)= a*x^3+bx+1

Ein Tiefpunkt liegt bei S(-0,5|-0,25):

f(-0,5)= a*(-0,5)^3+b(-0,5)+1

2.) a*(-0,5)^3+b(-0,5)+1=-0,25

f´(x)=3a*x^2+b

f´(-0,25)=3a*(-0,25)^2+b

3.) 3a*(-0,25)^2+b=0

Nun kannst du a und b bestimmen und hast deine Parabel.

mfG

Moliets