Anwendungsaufgabe Quadratische Funktion

Question

Aufgabe:

Die Bosporus-Brücke verbindet in Istanbul Europa mit Asien. Die Pylone sind 155 m hoch. Die Fahrbahn ist auf einer Höhe von 50 m eingehängt. Die maximale Spannweite beträgt 1074 m. Die Durchfahrtshöhe für Schiffe beträgt in der Brückenmitte 64 m. Die Fahrbahn verläuft also nicht rein horizontal, sondern erhebt sich parabelförmig zur Mitte der Brücke.
Stellen Sie die quadratischen Funktionsgleichungen für die Fahrbahn und für die Tragseile auf.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

4

So in etwa sieht meine Skizze aus.

Als erstes war mein Plan zunächst die Fahrbahn quadratische Funktionsgleichung aufzustellen. Dabei habe ich aus der Skizze heraus drei Punkte gewählt.
P1 (1074 | 50)
P2(0 | 50)
P3 (537 | 64)
Daraus habe ich dann ein Gleichungssystem gebildet:

I 50 = 1153476a + 1074b + c
II 50 = c
III 64 = 288369a + 537b + c

Meine Frage dabei ist jetzt nur, ob ich nach diesem Gleichungssystem auch noch die Nullstelle berechnen müsste, eigentlich schon oder?

Comments

Aus deiner Skizze werde ich nicht schlau.
Die Strecken 64 und 50 m stimmen mit der Skizze nicht überein.

Wo ist die Fahrbahn ?
Hast du die Originalskizze aus einem Buch dann
bitte abfotografieren und einstellen.

mfg Georg

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Die Kopien von meiner Schule sind echt nicht die besten...

Text erkannt:

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\( 55 a \)

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Die 50 m, die du in deiner Skizze eingezeichnet hast, erschließen sich mir nicht durch den Aufgabentext.

Im Aufgabentext sind nicht geügend Angaben um die Funktionsgleichung für die Tragseile aufzustellen.

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Die Skizze in der Frage zeigt den Brückenquerschnitt. Die gleiche Sicht findet sich hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Brücke_der_Märtyrer_des_15._Juli

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Dann gehören die 50 m da definitiv nicht hin.

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Hmm. Wie sähe denn, die Skizze optimalerweise aus?

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Die Pylone sind laut Aufgabe 155 Meter hoch und überragen die Fahrbahn nach Wikipedia um 105 Meter.

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@Gast az0815 Nein, die Pylone ist laut Aufgabe 155m hoch.

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Hmm. Wie sähe denn, die Skizze optimalerweise aus?

Zeichne die Punkte P₁, P₂ und P₃ in ein Koordinatensystem ein. Verbinde sie durch eine Parabel. Die x-Achse ist die Wasseroberfläche. Ein Pylon liegt auf der y-Achse, der andere auf der Parallelen dazu durch den Punkt (1074 | 0).

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@76hrs: Natürlich, so war es auch eigentlich beabsichtigt. Ich habe den Fehler behoben.

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Hallo Oswald,

Für meine bessere Orientierung kopiere ich mal deinen Kommentar.

"Die 50 m, die du in deiner Skizze eingezeichnet hast, erschließen sich mir nicht durch den Aufgabentext."

Alles macht einen Sinn, wenn als Höhe die Höhe über dem Meeresspiegel angenommen wird. Dann passen auch die 155 m Höhe der Pylone und die 50 m Höhe der Aufhängung der Brücke, zu der Wikipedia-Angabe, das die Pylone 105m die Brücke uberragen.
Doch deine Antwort bleibt ja richtig, die 50m gehören an den Rand. Dafür sollten die 155 m aber in 105 m und die erwähnten 50m bis zum Meeresspiegel aufgeteilt werden, doch das ändert nichts an der Tatsache, dass

"Im Aufgabentext sind nicht geügend Angaben um die Funktionsgleichung für die Tragseile aufzustellen."

Das sehe ich genauso, für den Scheitelpunkt der Parabel des Seiles fehlen die Angaben.

Der Scheitelpunkt des Seiles liegt über dem der Fahrbahn. Das macht die Aufgabe so schwierig, dass was als Parabel sofort ins Auge fällt, dazu fehlen die Angaben.

Zudem, was nicht ins Auge fällt, müssen die Informationen erst mühselig zusammen getragen werden.

Answer 1

ob ich nach diesem Gleichungssystem auch noch die Nullstelle berechnen müsste

In deiner Aufgabe gibt es keinen Grund dazu.

P3 (537 | 64)

Das ist nicht irgend ein beliebiger Punkt auf der Parabel. Das ist der Scheitelpunkt. Wenn du den Scheitelpunkt kennst, dann kannst du dir Rechenaufwand sparen, indem du als Ansatz die Scheitelpunktform

        f(x) = a(x-d)² + e

verwendest. In dieser liegt der Scheitelpunkt bei (d | e), was dich relativ schnell zu

        f(x) = a(x - 537)² + 64

bringt. Einsetzen von P2(0 | 50)  ergibt

        50 = a(0 - 537)² + 64

und du kannst ziemlich einfach a ausrechnen.

Natürlich kannst du auch mit dem von dir gewählten Ansatz weiterrechnen, ist auch richtig. Ist halt nur aufwendiger.

Comments

Jetzt habe ich ja a. Muss ich da jetzt auch noch b bzw. c berechnen? wegen f(x) = ax² + bx + c ?

Und habe ich das richtig verstanden, dass man nicht wirklich weiterrechnen kann bei den Tragseilen, weil da kein Scheitelpunkt erkennbar ist?
Und woran habt ihr überhaupt an dieser Aufgabe den Scheitelpunkt erkannt bzw. wie erkennt man ihn im generellen?

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Und wie kommst du von S (537 | 64) auf a(x - 537)² + 64? Vor allem wegen dem -537? Also dem Minus.

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Muss ich da jetzt auch noch b bzw. c berechnen?

Wenn du die Scheitelpunktform

        f(x) = a(x - d)² + e

mit binomischer Formel ausmultiplizierst, dann bekommst du

        f(x) = ax² -2adx + ad² + e.

Dann ist b = -2ad und c = ad²+e.

wegen f(x) = ax² + bx + c ?

Das sollte kein Grund sein, b und c zu bestimmen.

Ein Grund, b und c zu bestimmen, wäre, dass in der Aufgabe explizit nach der Normalform der Funktionsgleichung gefragt ist. Ist das nicht der Fall, dann reicht die Scheitelpunktform.

dass man nicht wirklich weiterrechnen kann bei den Tragseilen, weil da kein Scheitelpunkt erkennbar ist?

Für eine Parabel braucht man 3 Punkte. Es sind zwei gegeben, (0|155) und (1074|155). Einer fehlt.

Wenn man den Scheitelpunkt kennt, dann reicht wegen Scheitelpunktform ein weiterer Punkt. Allerdings ist keiner der zwei bekannten Punkte der Scheitelpunkt.

Und woran habt ihr überhaupt an dieser Aufgabe den Scheitelpunkt erkannt

"Die Fahrbahn ist auf einer Höhe von 50 m eingehängt." Auf beiden Seiten.

Wegen der Achsensymmetrie der Parabel befindet sich der Scheitelpunkt in der Mitte zwischen den beiden Aufhängungen, also in der Brückenmitte. Damit kennt man die x-Koordinate des Scheitelpunktes.

"Die Durchfahrtshöhe für Schiffe beträgt in der Brückenmitte 64 m." Weil, wie eben festgestellt, in der Brückenmitte der Scheitelpunkt ist, kennt man jetzt auch die y-Koordinate des Scheitelpunktes.

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Das heißt ich müsste hier:
      f(x) = ax² -2adx + ad² + e.

Dann ist b = -2adx und c = ad²+e.

a einsetzen usw. richtig ? :D

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Vor allem wegen dem -537? Also dem Minus.

Gegeben sind die Funktionen

  f(x) = x²

und

  g(x) = (x - 3)².

Ich möchte jetzt zum Beispiel mal, dass f(x) = 25 ist. Ich weiß, dass man 5 quadrieren kann um 25 zu erhalten. Also ist

  f(5) = 5² = 25.

Jetzt möchte ich, dass g(x) = 25 ist. Auch hier weiß ich, dass man 5 quadrieren kann um 25 zu erhalten. Was muss man in g(x) für x einsetzen, damit 5 quadriert wird? In g(x) wird ja nicht x quadriert, sondern x-3 wird quadriert. Also muss

  x - 3 = 5

sein. Das ist der Fall, wenn x = 8 ist.

Den Funktionswert 25, den f(x) an der Stelle x=5 hat, den hat g(x) erst an der Stelle x=8. Genau so verhält es sich mit allen anderen Funktionswerten.

Die Parabel von g(x) ist als gegenüber der Parabel von f(x) um 3 Einheiten nach rechts verschoben. Auch wenn es auf den ersten Blick etwas seltsam anmutet, dass da ein Minuszeichen steht, welches ja eher mit links in Verbindung bebracht wird.

Anderers formuliert: die Funktion g(x) schaut nach, was die Funktion f(x) drei Eineiten weiter links gemacht hat. Deshalb ist g(x) gegenüber f(x) um drei Einheiten weiter rechts.

a einsetzen usw. richtig ? :D

Ja. Oder erst einsetzen und dann ausmultiplizieren. Es ist halt immer eine Abwägung, wieviele Formeln man auswendig lernen möchte. Ich habe zum Beispiel die pq-Formel nie auswendig gelernt, weil ich quadratische Ergänzung konnte.

---

D.h. die Funktionsgleichung ist f(x) = - 14 / 288369 x² + 28 / 537x + 50. Da ich es ja in die Normalform bringen soll noch alles / (-14 / 288369)
f(x) = x² - 1074x - 7209225 / 7

---

Ok bezüglich dieser gegeben Formel:   g(x) = (x - 3)².
Das ist, wie du meintest die Verschiebung, richtig? Wenn ja wie komme ich dann auf diese Verschieben anhand meines Aufgabentextes / Skizze oder wie auch immer?

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D.h. die Funktionsgleichung ist f(x) = - 14 / 288369 x² + 28 / 537x + 50

Ja.

Da ich es ja in die Normalform bringen soll noch alles / (-14 / 288369)
f(x) = x² - 1074x - 7209225 / 7

Nein. Normalform ist schon

        f(x) = -14/288369 x² + 28/537 x + 50.

Eine Normalform ist eine mathematische Darstellung mit bestimmten, von der Art der Normalform vorgegebenen Eigenschaften.

Es gibt unterschiedliche Normalformen für unterschiedliche Arten von mathematischen Objekten.

Normalform einer quadratischen Gleichung ist

        x² + px + q = 0.

Jede quadratische Gleichung kann in diese Form umgewandelt werden, ohne das sich die Lösungsmenge ändert.

Normalform einer quadratischen Funktion ist

  f(x) = ax² + px + q.

Jede quadratische Funktion kann in diese Form umgewandelt werden, ohne das sich die Parabel ändert.

Lässt man in der Normalform einer quadratischen Funktion ist kein a mehr zu, dann kann man nur noch verschobene Normalparabeln mit der Normalform beschreiben. Deshalb das a in der Normalform einer quadratischen Funktion.

wie komme ich dann auf diese Verschieben anhand meines Aufgabentextes

f(x) = x² hat den Scheitelpunkt bei (0|0).

g(x) = (x-3)² hat den Scheitelpunkt bei (3|0) weil um 3 nach rechts verschoben.

In deiner Aufgabe wird halt um 537 nach rechts verschoben, damit da der Scheitelpunkt ist.

---

Text erkannt:

Ich nehme die oberste Skizze von 76 hrs
Dazu wähle ich den Ursprung des Koordinatensystem im Schnittpunkt der gelben mit der orangenen Linie.
Parabel mit Offnung nach unten:
Scheitel \( S_{1}(0 \mid 64) \)
Scheitelform der Parabel:
\( f_{a}(x)=a \cdot x^{2}+64 \)
\( A(-537 \mid 0) \)
\( f_{a}(-537)=a \cdot(-537)^{2}+64 \)
\( a \cdot(-537)^{2}+64=0 \)
\( a=-\frac{64}{288369} \approx-0,0002 \)
\( f(x)=-\frac{64}{288369} \cdot x^{2}+64 \)
Parabel mit Öffnung nach oben:
\( S_{2}(0 \mid 64+50) \rightarrow S_{2}(0 \mid 114) \)
Scheitelform der Parabel
\( g_{a}(x)=a \cdot x^{2}+114 \)
\( c(537 \mid 155) \)
\( g_{a}(537)=a \cdot 537^{2}+114 \)
\( a \cdot 537^{2}+114=155 \)
\( a=\frac{41}{288369} \)
\( g(x)=\frac{41}{288369} \cdot x^{2}+114 \)
mfG

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Danke für deine Antwort Moliets.

@oswald ,
"Nein. Normalform ist schon  f(x) = -14/288369 x² + 28/537 x + 50."
d.h. für die Normalform, muss ich da jetzt nicht weiter umrechnen, sondern das Ergebnis für die Normalform bleibt - 14 / 288369 x² + 28 / 537x + 50 oder ist es dann x² + 28 / 537x + 50 ?

---

das Ergebnis für die Normalform bleibt - 14 / 288369 x² + 28 / 537x + 50

Ja.

oder ist es dann x² + 28 / 537x + 50

f(x) = x² + 28 / 537x + 50 ist auch Normalform einer quadratischen Funktion. Aber eben nicht von der Funktion, die du bestimmen sollst.

---

"Nein. Normalform ist schon f(x) = -14/288369 x² + 28/537 x + 50."

Dann unterscheidet der Lehrer nicht zwischen der

allgemeinen Form
y = ax^2 + bx + c

und der Normalform
y = x^2 +px + q

Weglassen darfst du das a in keinem Fall. Du dürftest höchstens durch a teilen, wenn du z.B. die Nullstellen berechnen willst.

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Ok, danke.

Bezüglich der Verschiebung..: "f(x) = x² hat den Scheitelpunkt bei (0|0).

g(x) = (x-3)² hat den Scheitelpunkt bei (3|0) weil um 3 nach rechts verschoben.

In deiner Aufgabe wird halt um 537 nach rechts verschoben, damit da der Scheitelpunkt ist."

An sich ist mir das Grundprinzip mehr als klar. Allerdings, verstehe ich nur nicht, wie du auf (x-3)² kommst.. Oder diente das nur als Beispiel?

---

Das war nur ein Beispiel.

Answer 2

Es geht ja wohl um 2 Parabeln. Die Parabel der überspannenden

Tragseile wie auf Bild 1 zu sehen und für die Fahrbahn auf Bild 2.

Text erkannt:

A

Die x-Achse liegt ( So erkenne ich es auf dem schlechten Bild

aus deiner Schule.) auf der Höhe von 50, also liegen die

Endpunkte der Fahrbahn bei (0;0) und bei (1074;0). Der Scheitel dieser

Parabel also (537;14) (Denn in der Mitte ist es ja nur 14m höher als am Rand.)

==>  f(x) = a*(x-537)^2 +14  .

Das a bekommst du über das Einsetzen von (0;0)

und das gibt a=-14/288369.

Die Parabel der Seile hat m.E. den geleichen Scheitelpunkt und

geht also am Rand durch (0;105) und (1074;105).

Wasserlinie bei -50.

==>  a=91/288369.

Sähe dann so aus; ~plot~ -14/288369*(x-537)^2+14;[[0|1074|-70|120]];91/288369*(x-537)^2+14 ;-50~plot~

Comments

Danke für deine Antwort!
Ich verstehe, nur nicht so ganz, wie du weißt das es ein Scheitel ist, also woran macht man das Fest?
Und warum bei dem Scheitel die 14? Also wie kommst auf diese 14? Bzw. wie kommst du auf die Aussage das es in der Mitte nur 14 m höher ist als am Rand?
Kommst darauf durch sogesehen die Differenz von 64 und 50?

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Was meinst du mit m.E. ?

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meines Erachtens

also so erkenne ich das auf dem Bild.

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Noch eine Frage, wie kommst du von (537;14) auf einmal auf a*(x-537)2 ? Speziell wegen dem Minus?

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Vorweg, es ist beachtlich, welche Informationen du aus dieser schlechten Vorlage entnommen hast.

Ja, es sind zwei Parabeln, doch ich denke, die Annahme,

"Die Parabel der Seile hat m.E. den geleichen Scheitelpunkt"

geht zu weit, denn wenn wir dein Bild genau ansehen, dann ist dies nicht so, das Seil hat einen sichtbaren Abstand zur Brücke.

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Hmm, das stimmt schon. Aber irgendwie ist das auch Interpretationssache bei der Skizze durch die schlechte Kopierqualität. So wie ich finde.

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Die Vorlage ist "unter aller Sau".

Das ärgert mich immer, von den Schüler*innen wird saubere Arbeit erwartet, un dann so etwas.

Die Parabel des Seils kann nicht berechnet werden, da die Angaben fehlen. Es kann auch nicht erwartet werden dass man weiß, was es bedeutet, wenn eine Brücke aufgehängt wird denn dort wo die 50m angegeben worden sind, hängt die Brücke nicht, denn sie liegt. Darum beträgt der Höhenunterschied zwischen der Auflage und der Mitte 64m - 50m =14m

Eigentlich müsste diese Aufgabe sofort zurück gegeben werden, doch dass machen die Lehrer*innen ja auch nicht mit euren Arbeiten.

;-)

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Jup, wohl war. Und ich habe so das Gefühl, dass die Aufgaben eh wieder nicht kontrolliert werden, wie die letzten 5 Hausaufgaben in diesem Themengebiet auch nicht. Sondern es wird direkt wieder ein Test geschrieben, so wie immer halt.. Ohne zu Wissen, ob es richtig ist.

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Das Gute, aber ist, dass dich dann nichts mehr schrecken kann. Wenn du diese Frage verstanden hast, dann sind die kommenden ein Kinderspiel.

:-)

Answer 3

Ich würde das Koordinatensystem so über die "Brücke" legen, dass der Ursprung auf dem Schnittpunkt der orangenen mit der gelben Linie liegt. Dann hast du zwei Parabeln f_1(x) ist nach unten geöffnet und hat die Koordinaten P_1 (\( \frac{1064}{2} \) |0) und P_2 (0|64). Der Anstz wäre dann f_1(x)= a*x^2+b

Die 2.Parabel findest du nun selbst.

mfG

Moliets