Wie kommt man mit dem natürlichen Logarithmus auf diese Lösungsmenge?

Question

wir sollen die Lösungsmenge mithilfe des natürlichen Logarithmus' bestimmen.

Beispiel: e^0,5x=2

              e^0,5x=2 | ln

                  0,5x= ln(2) | :0,5

                       x= ln(2):0,5

                       x=(gerundet) 1,3863

Ich habe alle gelöst, aber bei dieser Aufgabe komme ich leider nicht weiter:

e^x*(x+3)=0

Ich weiß, dass x=-3 sein muss, damit die Klammer 0 ergibt --> e^-3*(0)=0

Aber wie kommt man mit dem natürlichen Logarithmus auf diese Lösungsmenge?

Answer 1

Genau, du wendest den Satz vom Nullprodukt an.

e^x(x+3)=0 ist null wenn e^x=0 oder x+3=0. Damit hast du x=-3 gefunden.

e^x=0 hat keine Lösung, da e^x>0 für alle x.

Answer 2

Das ist einfacher als es zunächst aussieht:

e^x * (x + 3) = 0

Satz vom Nullprodukt: Wenn ein Produkt A * B null ist, dann muss einer der Faktoren A oder B null sein.

e^x → Die e-Funktion ist immer > 0
Du kannst das auch mit dem Taschenrechner machen
e^x = 0
x = ln(0)
Wenn du das jetzt ausrechnen willst, wird der Taschenrechner sagen das das nicht geht. Eben weil die e-Funktion nie Null wird.

(x + 3) = 0 → x = -3

Answer 3

Wieso willst du dafür LN verwenden?

e^x >0, daher gibt es nur für x= -3 eine Lösung der Gleichung.

Comments

Der natürliche Logarithmus befasst sich mit genau demselben Problem: "Mit welchem Exponenten muss ich e potenzieren um auf 0 zu kommen" ist die wörtliche Beschreibung von \(\ln(0)=\log_{e}(0)\). Deshalb ist es durchaus nicht verwerflich das Ganze mithilfe des natürlichen Logarithmus zu lösen. Im Endeffekt kommt man dann auch auf dieselbe Lösung, dass \(e^x>0\) sein muss, weil \(\ln(x)\to -\infty\) für \(x\to 0\).