Warum kann man Polynomfunktionen IMMER in Linearfaktoren zerlegen?

Question

Liebe Mathelounge,

ich beschäftige mich mit der folgenden Frage:

Warum ist die Linearfaktordarstellung von ganzrationalen Funktionen eindeutig? Bzw. wie kann man erklären, dass man jede ganzrationale Funktion auch als Linearfaktoren schreiben kann?

Ich frage, da man über die Faktordarstellung ja herleiten kann, wie viele Nullstellen eine ganzrationale Funktion vom Grad n maximal besitzt.

Ich meine, für Lineare und Quadratische Funktionen ist das noch klar. Bei kubischen finde ich, ist es bereits eine Überlegung wert. Für n größer drei ohnehin.

Ich hoffe, meine Frage ist klar und ihr könnt mir helfen :)

Schönen Sonntag,

wünscht Kombi

Answer 1

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra zerfällt jedes reelle (und komplexe) Polynom über C in Linearfaktoren.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra

Comments

Hmm. Das verstehe ich leider nicht...

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Ich bin raus, wenn du nicht mal sagst was du nicht verstehst.

Hast du dich mit der Seite auf Wikipedia beschäftigt?

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Entschuldige, das war doof von mir...

Also ich verstehe die Aussage des Fundamentalsatzes, der natürlich viel mit meiner Frage zu tun hat. Mal angenommen meine Funktion hat den Grad 3 und besitzt Nullstellen bei x=1, x=2 und x=3 (im Reellen).

Was ich jetzt nicht verstehe: Woher weiß ich, dass nun gilt: f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3).

Ich meine was klar ist aufgrund der faktorisierten Form: f hat die gleichen Nullstellen wie die oben geforderte Funktion.

Was mir nicht klar ist: Warum kann ich f auf jeden Fall als solch faktorisierte Form darstellen?

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Fang mal mit einer Linearen Funktion an, die nicht konstant ist.

f(x) = m*x + b

Nun sei n eine Nullstelle und damit muss gelten

f(n) = m*n + b = 0

Ich löse die Gleichung mal nach b auf

m*n + b = 0 → b = -m*n

und setze das in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein

f(x) = m*x - m*n
f(x) = m*(x - n)

Damit können wir jede lineare Funktion, als Linearfaktorzerlegung schreiben. Sie hat hier allerdings nur einen Linearfaktor.

Das könnte man jetzt ebenso mit einer quadratischen und kubischen Funktion machen. Aber Achtung. Nullstellen bei quadratischen Funktionen müssen nicht reel sein, sie können auch komplex sein, was das verständnis etwas erschwert.

Answer 2

Warum ist die Linearfaktordarstellung von ganzrationalen Funktionen eindeutig?

Sind p und q Polynomfunktionen mit

        q(x) = p(x)·(x-x₀),

dann ist x₀ Nullstelle von q.

Ist auch

        q(x) = p'(x)·(x-x₁),

dann ist x₁ Nullstelle von q.

In der Linearfaktordarstellung von q kommen also nur die Nullstellen von q vor.

Falls es also eine Linearfaktordarstellung von q gibt, dann ist sie eindeutig.

wie kann man erklären, dass man jede ganzrationale Funktion auch als Linearfaktoren schreiben kann?

Das kann man nur dann, wenn die ganzrationale Funktion hinreichend viele Nullstellen hat (inklusive Vielfachheiten). Bei ganzrationalen Funktionen über ℝ ist das nicht immer der Fall, bei ganzrationalen Funktionen über ℂ jedoch schon.

Fürt man die Polynomdivision

          (ax³ + bx² + cx + d) : (x-e)

aus, dann bekommt man

        (ax³ + bx² + cx + d) = (x-e)(a'x² + b'x + c') + d'.

Ist jetzt e eine Nullstelle von (ax³ + bx² + cx + d), dann ist

        (ae³ + be² + ce + d) = 0

und

        (x-e)(a'x² + b'x + c') + d' = (e-e)(a'e² + b'e + c') + d'

Also ist dann auch

        0 = (e-e)(a'e² + b'e + c') + d'.

Wegen e-e = 0 ist (e-e)(a'e² + b'e + c') = 0, also muss dann auch d' = 0 sein.

Teilt man also ein Polynom dritten Grades durch den zu einer Nullstelle passenden Linearfaktor, dann bleibt kein Rest.

Das kann man auf Polynome höheren Grades verallgemeinern.

Answer 3

Man kann es ja nicht immer, zumindest nicht im ℝ.

Für ℂ ist es allerdings richtig.