Wie löst man diese Aufgabe ohne Taschenrechner? (Trigonometrie)

Question

Aufgabe:

Aufgabe 2:
cos x und sin x sind als die Koordinaten des Punktes Px auf dem Einheitskreis defeniert
daher: cos^2x + sin^2x=1

(i) Bestimmen Sie cos x und sin x für (1)

x = 3/4 pi

Problem/Ansatz:

Ich habe es mit dem einheitskreis erstmal versucht zu lösen, kam aber nicht weiter. Wie löst man diese Aufgabe ohne Taschenrechner? Ich würde mich über jede Hilfe freuen.

Answer 1

Ziehe vom Punkt P_x das Lot auf die x-Achse. Lotfusspunkt sei L.

Das Dreieck aus Ursprung O, P_x und L ist rechtwinklig mit rechtem Winkel bei L.

Die zwei anderen Innenwinkel haben jeweils die größe π/4. Somit sind die Katheten gleich lang und es ist

        |sin (3/4 π)| = |cos (3/4 π)|.

Mittels

        cos²x + sin²x=1

kommt man dann zu

        |sin (3/4 π)| = 1/√2.

Aufgrund der Lage des Punkte P_x auf dem Einheitskreis erhält man

        sin (3/4 π) = 1/√2

und

        cos (3/4 π) = -1/√2.

Comments

Danke für die antwort, aber ich verstehe nicht wieso die 2 innenwinkel gleich pi/4 sind?

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wieso die 2 innenwinkel gleich pi/4

3/4 π + Innenwinkel bei O = π

Der Innenwinkel bei O ist also π/4.

Wegen des rechten Winkels bei L und der Winkelsumme im Dreieck (180° \(\hat{=}\) π) hat der Innenwinkel bei P_x auch die Größe π/4.

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Aber wie kommt man auf |sin (3/4 π)| = 1/√2?

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Einsetzen von

        |sin (3/4 π)| = |cos (3/4 π)|

in

        cos²x + sin²x=1.

Answer 2

Cos(pi/4)=sin(pi/4)=√2  / 2 sind bekannt?

Dann sind es wegen der Symmetrie des Einheitskreises die gleichen Beträge, nur beim Voß ist es negativ.

Und aus DER Gleeichheit der Werte y bei pi/4 kannst du mit

y2 + y2 = 1 auch den Wert √2 / 2 bestimmenn, weil beide pos. Sind