Ansatz zu Rechnen mit Vektoren

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A(3/3/5), B(2/2/-1) und C(-1/-1/1). Bestimmen Sie zwei Vektoren u und v die jeweils orthogonal zu AB und AC verlaufen.

Problem/Ansatz:

Also ich habe bis jetzt AB und AC ausgerechnet aber weiß nicht wie ich jetzt weiter machen soll.

Answer 1

Aloha :)

$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-6\end{pmatrix}$$$$\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-4\\-4\end{pmatrix}$$Einen Vektor, der auf diesen beiden senkrecht steht, finden wir mit Hilfe des Vektorproduktes:$$\vec n=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-6\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-4\\-4\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\6\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-24\\24-4\\4-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-20\\20\\0\end{pmatrix}$$Jedes Vielfache davon steht ebenfalls senkrecht auf den Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\):$$\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\;\perp\;\overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AC}\quad;\quad\lambda\in\mathbb R^{\ne0}$$

Comments

Das vielfache von(-20/20/0)?

Also im Endeffekt dann (-40/40/0) oder?

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1/20 * (-20/20/0)

ist auch ein Vielfaches.

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Ja, du kannst den Vektor \((-20;20;0)\) mit jeder Zahl ungleich 0 multiplizieren. Ich habe den Faktor \(\frac{1}{20}\) gewählt, damit das Ergebnis hübsch aussieht ;)

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Achso oke danke für die Hilfe ;)

Answer 2

Also ich habe bis jetzt AB und AC ausgerechnet aber weiß nicht wie ich jetzt weiter machen soll.

Damit wir auf einem Nenner sind: Ich kriege für \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -1\\-1\\-6 \end{pmatrix}\) und für \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -4\\-4\\-4 \end{pmatrix}\). Um nun einen Vektor zu finden, der senkrecht auf einem Vektor steht, musst du einen neuen Vektor suchen, so dass das Skalarprodukt mit dem gewählten Vektor gleich 0 ist. Z. B.:$$\begin{pmatrix} -4\\-4\\-4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\0  \end{pmatrix}=-4+4+0=0$$ Damit steht \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0  \end{pmatrix}\) senkrecht auf \(\begin{pmatrix} -4\\-4\\-4 \end{pmatrix}\)

Comments

Wäre der zweite Vektor in dem Fall dann (4/-4/0)?

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Ja, das wäre möglich. Aber du kannst auch wieder (1,-1,0) nehmen, der steht zufälligerweise senkrecht auf beiden. Aber du solltest ja jeweils nur einen finden, der senkrecht steht, wenn ich das richtig verstehe. Oder suchst du einen Vektor, der senkrecht zu AB UND AC steht? Das ginge nämlich schnell übers Kreuzprodukt.

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Also ich sollte zwei Vektoren finden die senkrecht zu AB UND AC verläuft

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Achso, das habe ich falsch interpretiert. Dann übers Kreuzprodukt.

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Danke habe es nun verstanden :)

Answer 3

Gegeben sind die Punkte A(3/3/5), B(2/2/-1) und C(-1/-1/1). Bestimmen Sie zwei Vektoren u und v die jeweils orthogonal zu AB und AC verlaufen.

$$ AB= (-1;-1;-6)  $$

$$ AC=(-4;-4;-4) $$

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

$$ AB×AC=$$

(-1*-4 - -4*-6=-20; -6*-4 --4*-1=20;-1*-4--4*-1=0)=

$$ (-20 ; 20 ; 0)=u $$

v= t*u z.B. t= -1/20

$$ v= -u/20= (1;-1;0)$$