Flächeninhalt herausfinden ( Integralrechnungen)?

Question

Aufgabe:

Welchen Inhalt hat die Fläche, die begrenzt wird von der x-Achse, der Kurve f(x)= \( \sqrt{x} \)    und der Normalen im Kurvenpunkt P(4/?)

Problem/Ansatz:

Zuerst muss ich die Normale herausfinden. Da ich diese Aufgabe schon einmal gelöst habe, kapiere ich nun mein Lösungsweg nicht mehr.

Bei der Normale muss man ja n(x)= ((-1)/(f(x)))  * f(x) +qn

Doch gerechnet habe ich etwas völlig anderes

((-1) / (0.5*\( \sqrt{4} \) ^ (-0.5)) * 4 + qn

das würde N(x) = -4x+18      geben.

Würde ich mit diesem Resultat weiterrechnen, so würde das Endresultat der Aufgabe stimmen. Doch wie bin ich auf das gekommen?

Answer 1

Hallo,

für die Normale an der Stelle \(x=4\) gilt:$$n(x)=-\frac{1}{f'\left(4\right)}\left(x-4\right)+f\left(4\right)=-4x+18$$ Die Ableitung der Wurzelfunktion ist \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) und somit \(f'(4)=\frac{1}{4}\). Der negative reziproke Wert ist dann \(-4\).

Zur Ableitung:$$(\sqrt{x})'=(x^{1/2})'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Comments

achsooooo! stimmt! es ist ja -1/f'(x)  und nicht f(x)

danke !