Aloha :)
Du musst die Differenz der beiden Funktion bilden:$$f(x)=y_1(x)-y_2(x)=x^3-5x-(-x)=x^3-4x=x(x^2-4)$$$$\phantom{f(x)}=x(x-2)(x+2)$$und diese Funktion von einer Nullstelle zur nächsten integrieren. Anschließend musst du die Beträge aller dieser Integrale addieren. Dieser Aufwand ist leider nötig, weil Integrale oberhalb der \(x\)-Achse positiv sind und Integrale unterhalb der \(x\)-Achse negativ sind. Hier in diesem Fall sind beide Integrale gleich groß, haben aber unterschiedliches Vorzeichen.
Hier siehst du die beiden Funktionen \(y_1(x)\) und \(y_2(x)\):
~plot~ (x^3-5x) ; -x ; [[-3|3|-5|5]] ~plot~
Hier die Differenz-Funktion \(f(x)\):
~plot~ x^3-4x ; [[-3|3|-5|5]] ~plot~
Die Differenz-Funktion \(f(x)\) haben wir oben schon in Linearfaktoren zerlegt, sodass wir die Nullsetellen direkt ableisen können:$$x_1=-2\quad;\quad x_2=0\quad;\quad x_3=2$$Damit haben wir die Integrale:$$I_1=\int\limits_{-2}^0 f(x)dx=\int\limits_{-2}^0(x^3-4x)dx=\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^0=4$$$$I_2=\int\limits_{0}^2 f(x)dx=\int\limits_{0}^2(x^3-4x)dx=\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_{0}^2=-4$$Die gesuchte Fläche ist daher:$$F=|I_1|+|I_2|=8$$
