Flächeninhalt zwischen Kurven berechnen

Question

Ich hab hier folgende Aufgabe:

Berechne den Flächeninhalt zwischen den Kurven

k1: y = x³ - 5x

k2: y = - x

:) ich hab das noch nicht ganz verstanden daher wären Erklärungen zu den jeweiligen Rechenwegen sehr nett :)

LG

Answer 1

Aloha :)

Du musst die Differenz der beiden Funktion bilden:$$f(x)=y_1(x)-y_2(x)=x^3-5x-(-x)=x^3-4x=x(x^2-4)$$$$\phantom{f(x)}=x(x-2)(x+2)$$und diese Funktion von einer Nullstelle zur nächsten integrieren. Anschließend musst du die Beträge aller dieser Integrale addieren. Dieser Aufwand ist leider nötig, weil Integrale oberhalb der $x$-Achse positiv sind und Integrale unterhalb der $x$-Achse negativ sind. Hier in diesem Fall sind beide Integrale gleich groß, haben aber unterschiedliches Vorzeichen.

Hier siehst du die beiden Funktionen $y_1(x)$ und $y_2(x)$:

Plotlux öffnen

f₁(x) = (x³-5x)f₂(x) = -xZoom: x(-3…3) y(-5…5)

Hier die Differenz-Funktion $f(x)$:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x³-4xZoom: x(-3…3) y(-5…5)

Die Differenz-Funktion $f(x)$ haben wir oben schon in Linearfaktoren zerlegt, sodass wir die Nullsetellen direkt ableisen können:$$x_1=-2\quad;\quad x_2=0\quad;\quad x_3=2$$Damit haben wir die Integrale:$$I_1=\int\limits_{-2}^0 f(x)dx=\int\limits_{-2}^0(x^3-4x)dx=\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^0=4$$$$I_2=\int\limits_{0}^2 f(x)dx=\int\limits_{0}^2(x^3-4x)dx=\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_{0}^2=-4$$Die gesuchte Fläche ist daher:$$F=|I_1|+|I_2|=8$$

Comments

Wie hast du gerechnet, dass du von den eckigen Klammern auf 4 und -4 gekommen bist? Bis dorthin ist alles klar aber das verstehe ich jetzt nicht...

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Neben der rechten eckigen Klammern steht oben die obere Grenze und unten die untere Grenze, die eingesetzt werden müssen:$$\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^0=\left(\frac{0^4}{4}-2\cdot0^2\right)-\left(\frac{(-2)^4}{4}-2(-2)^2\right)$$$$=0-\left(\frac{16}{4}-2\cdot4\right)=-(-4)=4$$Mit der eckigen Klammern für das andere Integral geht das analog.

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Achso!! :)