1) Damit sich \(f(x)=ax^4-x^b\) im Unendlichen genauso wie \(g(x)=-x^4\) verhält, muss \(a\) negativ oder \(b>4\) sein (und ein Sonderfall offenbart sich noch): $$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\overbrace{-x^4}^{ -\infty} = \lim\limits_{x\to\pm\infty} \overbrace{ax^4-x^b}^{- \infty}\quad \lvert\; \text{ nur für } a<0 \text{ oder } b>4 \text{ oder } a<1\land b=4$$ Die Gleichung \(ax^4-x^b<0\) gilt nur für \(a<0\) oder \(b>4\) und \(a\in\mathbb{R}\) oder \(a<1\) und \(b=4\), genau dann verhält sich \(f(x)\) genauso wie \(g(x)\) im Unendlichen. Das kannst du ganz einfach aus der Ungleichung und dem Grenzwert ableiten.
2) Für die Achsensymmetrie muss \(f(-x)=f(x)\) gelten.
Prüfen wir das Mal nach: \(f(x)=ax^4-x^b\) und \(f(-x)=a(-x)^4-(-x)^b\). Also muss gelten: $$ax^4-x^b=a(-x)^4-(-x)^b\\ ax^4-x^b=ax^4-(-x)^b \qquad \lvert\; b \text{ gerade}\\ax^4-x^b=ax^4-x^b \quad \checkmark$$ Aus der Gleichung können wir also folgern, dass \(b\) gerade sein muss für die Bedingung, dass \(f(x)\) achsensymmetrisch sein soll!
Zusammengesetzt aus 1) und 2) muss also gelten: $$\left( b>4\ \land b \text{ gerade}\right) \lor \left(a<0\land b\text{ gerade}\right)\lor \left(a<1 \land b=4\right)$$ In Worten: Es gibt 3 Fälle, für welche die Voraussetzungen der Aufgabe gelten:
1. \(a\in\mathbb{R}\), \(b>4\) und \(b\) gerade.
2. \(a<0\) und \(b\) gerade.
3. \(a<1\) und \(b=4\).
Deine Vermutungen waren also nicht ganz richtig.
