Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume? Bsp. {ax³-bx²+(c+3a)x |a,b,c,∈ℝ} ⊂ℙ^3

Question

Falls es sich um einen handelt, so prüfen Sie bitte.

Falls nicht, warum?
1)             3-a

               2a-1

                  -4a

a∈ℝ^3

2)Die Ebene 2x+4y-2z=3 im ℝ^3

3) Die Menge aller Matrizen ℝ^{2x2}, die sowohl symmetrisch als auch singulär sind

4){ax³-bx²+(c+3a)x|a,b,c,∈ℝ} ⊂ℙ^3

Meine Idee wäre nun zu prüfen ob der Nullvektor vorhanden ist. Aber so ganz verstehe ich die Aufgabe nicht.

Ein Untervektorraum hat ja die Bedingung das die Addition der Vektoren aus U wiederum in der Menge U enthalten sind. (wäre bei 1) meines Erachtens nach der Fall) und das die Multiplikation mit Skalaren keine leere Menge ergibt.

Könnt ihr mir weiterhelfen. Ich stehe etwas auf dem Schlauch, in meinen Augen fehlt der Ausgangsvektor,.

Comments

1)             3-a

               2a-1

                  -4a

a∈ℝ³

Darstellung ist hier so nicht möglich.

Sollen die ersten 3 Zeilen einen Vektor in R^3 darstellen?

Wenn a selbst ein Vektor ist, kann man nicht 3-a rechnen.

Der Nullvektor muss drinn sein. Richtig! Ist so wie 1) geschrieben ist, nicht der Fall bei 1)

 Danach musst du die Vektorraum-Axiome oder Untervektorraum - Eigenschaften prüfen.

2) ist kein Untervektorraum, da er den Nullvektor nicht enthält.

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$$\text{3) ist sicher kein UVR, da }\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\text{ nicht singulär ist.}$$

Answer 1

4) dürfte ein UVR sein, da für a=b=c=0 das Nullpolynom in UVR liegt.
Ausserdem führt Addition von Polynomen ohne absolutes Glied wieder zu Polynomen ohne absolutes Glied.
Auch Mult. mit reellen Zahlen ergibt keine absoluten Glieder ≠0.