Geklammerte Potenzen vereinfachen: (a-b)^3(b-a)^2

Question

Aufgabe:

Vereinfach so weit wie möglich.

1. (a-b)^3(b-a)^2

2. Wie müsste man vorgehen, wenn die Aufgabe (a-b)^3(a+b)^2 lauten würde?

Problem/Ansatz:

Meine Vermutung ist, dass man die beiden Exponenten einfach addieren kann, da beide Basen gleich sind.

(a-b)^2= a^2 - 2ab + b^2

(b-a)^2=b^2 -2ab + b^2

Deswegen: (a-b)^3(b-a)^2 = (a-b)³⁺² = (a-b)^5 oder (b-a)^5 ???

Ich bin um jede Hilfe dankbar :-)

Answer 1

$$(a-b)^3(b-a)^2=(a-b)^3(-(a-b))^2=(a-b)^5$$

Comments

(a - b)^3·(a + b)^2

= (a - b)·(a - b)^2·(a + b)^2

= (a - b)·((a - b)·(a + b))^2

= (a - b)·(a^2 - b^2)^2

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Ist das Endergebnis erreicht, sobald man die Basen und die Exponenten so weit wie möglich aneinander angeglichen hat?

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Die Potenzgesetze kannst du ja nur anwenden wenn die Basis oder die Exponenten gleich sind. d.h. der erste Schritt ist meist die Gleichheit der Basen oder Exponenten herzustellen.

Was vereinfachen bedeutet ist manchmal nicht ganz so klar.

Wer bestimmt z.B. ob (a - b)·(a^2 - b^2)^2 einfacher ist als (a + b)^2·(a - b)^3. Ich finde z.B. letzteres einfacher. Daher kann man hier dem Professor nur anbieten was man eventuell umwandeln kann.

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Okay, das macht Sinn. Schonmal danke dafür :)

Jetzt frage ich mich aber noch warum man bei der ersten Aufgabe (a-b)^3 (-(a-b)^2) = (a-b)^5 und nicht (-(b-a)^3)(b-a)^2 = (b-a)^5 schreibt.

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Achtung nur bei geraden Exponenten gilt

(-3)^2 = 3^2

Bei ungeraden gilt das NICHT

(-3)^3 ≠ 3^3

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Pffiiu, gut dass wir das noch geklärt haben, bevor ich wild drauf los geklammert habe. Dickes Merci!

Answer 2

1.) Hinweis: \((b-a)^2=(-1\cdot (a-b))^2=(-1)^2\cdot (a-b)^2 = (a-b)^2\)

2.) \((a-b)^3\cdot (a+b)^2 = (a-b)\cdot (a-b)^2\cdot (a+b)^2 = (a-b)\cdot ((a-b)(a+b))^2 = (a-b)\cdot (a^2-b^2)^2 \)

Answer 3

1.)

$$ (a-b)^3(b-a)^2= (a-b)^5$$ 

2.)

Wie müsste man vorgehen, wenn die Aufgabe (a-b)^3(a+b)^2 lauten würde?

$$ (a-b)^3(a+b)^2=$$

$$ (a-b)(a^2-b^2)^2$$

Answer 4

(b-a)^2 = (a-b)^2

-->(a-b)^3*(a-b)^2 = (a-b)^5