Bestimmen Sie die Koordinatengleichung

Question

Aufgabe:

Die Gerade g, die die Punkte O(0/0/0) und A(2/-1/2) enthält, ist orthogonal zu E und schneidet E im Punkt P(4/-2/4). Bestimmen Sie die Koordinatengleichung.

Answer 1

ﹰEIN NORMALENVEKTOR IST

2

-1

2

also gleichung

2x -y +2z = d

Punkt einsetzen gibt d= 18.

Comments

Woher soll man wissen, ob A der Normalenvektor ist, könnte dann nicht jeder beliebige Punkt ein Normalenvektor sein?

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Der Richtungsvektor einer Geraden, die orthogonal zu einer Ebene ist, ist ein Normalenvektor der Ebene.

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Okay danke, das hab ich jetzt verstanden

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Woher soll man wissen, ob A der Normalenvektor ist, könnte dann nicht jeder beliebige Punkt ein Normalenvektor sein?

es ist nicht der Punkt \(A\), aber der Vektor \(\vec{OA}= \vec n\) von \(O\) nach \(A\) (rot im Bild)

klick auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus, vielleicht hilft es, die Zusammenhänge zu verstehen.

Answer 2

$$ \begin{pmatrix} 2 \\-1 \\2 \end{pmatrix}\cdot \vec x= \begin{pmatrix} 2 \\-1 \\2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 4\\-2 \\4 \end{pmatrix}=18$$

Answer 3

Geradengleichung g: x=a+r*m

a(0/0/0)  und A(2/-1/2) → gleichgesetzt mit r=1

(2/-1/2)=(0/0/0)+1*(mx/my/mz)

x-Richtung: 2=0+1*mx → mx=(2-0)/1=2

y-Richtung: -1=0+1*my → my=(-1-0)/1=-1

z-Richtung:2=0+1*mz → mz=(2-0)/1=2

g: x=(0/0/0)+r*(2/-1/2)

die Gerade steht orthogonal (senkrecht) auf der Ebene und somit idt der Richtungvektor der Geraden der Normalenvektor der Ebene

n(2/-1/2)

Koordinatengleichung der Ebene E: a*x+b*y+c*z+d=0

Der Normalenvektor der Ebene ist n(a/b/c)=(2/-1/2)

eingesetzt

2*x-1*y+2*z+d=0  mit den Punkt P(4/-2/4),der auf der Ebene liegt

2*4-1*(-2)+2*4+d=0

8+2+8+d=0

18+d=0

d=-18

E: 2*x-1*y+2*z-18=0  oder 2*x-1*y+2*z=18