Injektiv surjektiv bijektiv

Question

Frage:

Untersuchen Sie, ob die Funktion f:ℝ→ℝ, f(x)=x² / x² +1 injektiv bzw. surjektiv ist

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich da anfangen soll

Comments

Injektiv ist f sicher nicht, denn offenbar gilt f(x)=f(-x).

Answer 1

Aloha :)$$f:\mathbb R\to\mathbb R\;:\;x\mapsto\frac{x^2}{x^2+1}$$Sujektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird. Da die Zielmenge \(\mathbb R\) ist, enthält sie auch alle negtiven reellen Zahlen. Allerdings ist der Funktionsterm stets positiv. Es wird also kein negatives Element der Zielmenge erreicht. Die Funktion ist nicht surjektiv.

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R\) höchstens 1-mal erreicht wird. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, gilt jedoch \(f(-x)=f(x)\). Zum Beispiel ist$$f(-1)=\frac{1}{2}\quad;\quad f(1)=\frac{1}{2}$$Der Wert \(\frac{1}{2}\) aus der Zielmenge wird also 2-mal erreicht. Die Funktion ist nicht injektiv.

Answer 2

Kannst du begrünsten, dass deine Funktion

f(x) = x^2 / (x^2 + 1)

achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse ist? Dann kannst du auch sagen ob die Funktion injektiv oder surjektiv ist oder?

~plot~ x^2/(x^2+1) ~plot~

Comments

Anscheinend hab ich da noch sehr viel übungsbedarf.