Hilfe zur geometrischen Reihe

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Ein Kredit der Höhe \( a \) sei mit jährlichen Zinsen von \( z \% \) und einer jährlichen Rückzahlungsrate \( b \) versehen. Ermitteln Sie eine Formel für den Schuldenstand \( a_{n} \) am Ende des \( n \) -ten Jahres.

Hinweis: \( a_{0}=a, a_{1}=a q-b, a_{2}=a_{1} q-b, \ldots \) mit \( q=1+z / 100 . \) Ermitteln Sie durch sukzessives Einsetzen einen Ausdruck für \( a_{n} \) und berechnen Sie die auftretende Summe mit Hilfe der Formel für die geometrische Reihe.

Problem/Ansatz

Answer 1

Versuch es mal so:

\(a_0=a \\ a_1=a\cdot q - b \\ a_2=a_1 \cdot q - b = (a\cdot q - b)\cdot q - b = a\cdot q^2- b\cdot (q+1) \\ a_3=a_2\cdot q -b = (a\cdot q^2- b\cdot (q+1))\cdot q - b = a\cdot q^3 - b\cdot (q^2+q+1) \\ a_4 = a_3 \cdot q - b = (a\cdot q^3 - b\cdot (q^2+q+1))\cdot q - b = a\cdot q^4-b\cdot (q^3+q^2+q+1)\)

Siehst du das Muster?

Dann kannst du über Induktion zeigen, dass

\(a_n=\begin{cases} a, \ n=0 \\ a\cdot q^n-b\cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1} q^i, \ n\geq 1 \end{cases}\)

gilt (Induktionsanfang n=0 und n=1).

Answer 2

a(0) = a
a(1) = a·q - b
a(2) = a1·q - b = (a·q - b)·q - b = a·q^2 - b·q - b
a(3) = a2·q - b = (a·q^2 - b·q - b)·q - b = a·q^3 - b·q^2 - b·q - b
a(4) = a3·q - b = (a·q^3 - b·q^2 - b·q - b)·q - b = a·q^4 - b·q^3 - b·q^2 - b·q - b
...
a(n) = a·q^4 - b·∑ (k = 0 bis n - 1) (q^k)
a(n) = a·q^4 - b·((q^n - 1)/(q - 1))