0 Daumen
3,1k Aufrufe

Aufgabe:

Stellen Sie fest, zu welchem Typ die folgende Quadrik im R3 gehört

2x2 + 2xy + 2y2 − 2xz + 2z2 − 2yz − 1 = 0.


Lösung:

q = xτ Ax + 2 bx + c = 0

A = \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2  & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \)

Frage:Wie können wir dieser Matrix bestimmen?

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

ich vermute, dass du eine Hauptachsentransformation mit deiner Quadrik durchführen möchtest. Die allgemeine Quadrik der Form:$$ q(x)=a_{11} x_{1}^{2}+ a_{12} x_{1} x_{2}+a_{13} x_{1} x_{3}+a_{22} x_{2}^{2}+a_{23} x_{2} x_{3}+a_{33} x_{3}^{2}+b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+b_{3} x_{3}+c$$ lässt sich schreiben als \(q(x)=x^TAx+b^Tx+c\) mit \(A=\begin{pmatrix} a_{11} & \frac{1}{2}a_{12}  & \frac{1}{2}a_{13}\\ \frac{1}{2}a_{12} & a_{22} & \frac{1}{2}a_{23} \\ \frac{1}{2}a_{13} & \frac{1}{2}a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}\) und \(b=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}\) Hier siehst du, wie durch Rotation dein Ellipsoid in die Hauptachsenlage transformiert wird (Normalform). Es bedarf keiner Translation.

hauptachsentrafo.gif  

Dies ist ein Tool vom Mitglied wächter auf Geogebra. Hier kannst du es einsehen.

Avatar von 28 k

Ja, gerne.

@rc

Hast Du eine lokale App fotografiert?

Das Online-Worksheet (Firefox) dreht gerne in der flaschen Richtung - scheint ein Bug zu sein...

Ich weiß nicht genau, was du mit "lokaler App" meinst, aber ich habe direkt die Vorschau auf der verlinkten Seite verwendet. Also dieses Fenster:

blob.png

(Google Chrome)

PS: Ich war ein wenig verwirrt davon, dass man ² verwendet bei der Eingabe anstatt ^ 2.

Zur Eingabe: in ggb 6.x kannst Du beide Verfahren verwenden - Caret ^ oder Potenzschablone über ggb-Tastatur.

lokale App: lokale ggb-Installation auf dem Rechner himself (Desktop-Tablet). BTW:Ich hab auch ein besser aufs Smartfon passendes Format unten im Worksheet verlinkt...

https://www.geogebra.org/m/b2cengjk

Die App im Browser (ich verwende fast ausschließlich Firefox) ist bisweilen etwas zickig ... - zickiger noch wie das Gesamtwerk ;-)

Super, danke - das Applet stellt eine gute Möglichkeit dar, die Hauptachsentransformation und den Wust an Rechnungen zu visualisieren.

@wächter In Chrome, Edge und Firefox unter Windows läuft das Applet selbst bei meinem in die Jahre gekommenen Laptop relativ flüssig.

Freut mich zu hören. Flüssig und richtig? Dieses Beispiel

blob.png

dreht unter Firefox in die flasche Richtung und die Urspungsachsen (gax,gay) liegen im Nirgendwo - sollte in der roten Ursprungsquadrik lliegen - was es lokal auch tut....so

blob.png

Hmm, ja - da sind bei mir die Achsen bei Firefox auch woanders, wenn ich das richtig gesehen habe.

Ich habe auch gerade ein bisschen rumgespielt damit und dann war es doch nicht immer so flüssig, außer bei Edge. xD

Bei mir performt das sehr gut. Habe aber auch keinen älteren Laptop.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community