Aufgabe:
Sei K:= ℚ(√-5):= {a+ib✓5, a,b∈ℚ} ⊂ℂ und O:= {a+i*b√5, a,b∈ℤ}⊂K
Zeige, dass:
a) K ist ein Unterkörper von ℂ
b) O ist ein Unterring von K aber kein Unterkörper.
Problem/Ansatz:
Nun einen Ansatz habe ich bereits:
Ich will zeigen, dass K ein Unterkörper ist
1) Nullelement von ℂ,∈K : (0,0), 0∈ℚ ✓
2) Einselement von ℂ,∈K: (1,0), 1∈ℚ und 0∈ℚ ✓
3) Additativ Inverses ∈ K: (a,b)∈ℚ also auch (-a,-b)∈ℚ ∀a,b∈ℚ ✓
4) Multiplikativ Inverses ∈ K: Definition: z=a+ib z^1= (a^2+b^2)^-1 * (a-ib)
Das Multiplikativ Inverse als Element von K zu beweisen bereitet mir bereits Mühe. Ist mein Ansatz überhaupt richtig? Also würde ich alle Punkte abhacken können, würde das heissen K ist ein Unterkörper von ℂ?
