Bestimmen von Taylorreihen / Bildungsvorschrift finden

Question

Aufgabe: Bestimmen sie die Taylorreihe von $$f(x) = x/((x-1)*(x+1))$$ im Entwicklungspunkt x_0 = 0.

Zeigen sie mit Hilfe von Partialbruchzerlegung, dass die Taylorreihe auf dem offenen Intervall (-1,1) konvergiert.

Problem/Ansatz:

Mein Problem besteht aktuell darin , eine allgemeine Bildungsvorschrift, für die n-te Ableitung von f(0) zu finden.

Bisher habe ich das zugehörige Taylorpolynom 3.Grades aufgestellt :

Die Ableitungen :

$$f'(x) = -\frac{x^2+1}{(x-1)^2*(x+1)^2}$$

$$f''(x) = \frac{2x*(x^2+3)}{(x-1)^3*(x+1)^3}$$

$$f'''(x) = -\frac{6(x^4+6x^2+1)}{(x-1)^4(x+1)^4}$$

$$T^3_0(f) = 0 - x + 0*x^2 - \frac{6}{3!}*x^3 = -x - x^3$$

Ich habe darauf abgezielt, eine allgemeine Bildungsvorschrift für die n-te Ableitung zu finden, wenn n gerade ist diese null ansonsten -(n!). Diese wollte ich dann für f^k(0) in die Formel der Taylorreihe einsetzen, nach Induktionsbeweis, um diese zu bestimmen. Jedoch bin ich mir unsicher, ob das zum Einen der richtige Weg ist und zum Andern, wie man besagte Bildungsvorschrift mathematisch formulieren kann.

Ich bedanke mich schonmal im Voraus für die Zeit die ihr euch nehmt!

Answer 1

Du findest hier ganz einfach eine Bildungsvorschrift: Die ersten Ableitungen eingesetzt in die Taylorreihenentwicklung mit Entwicklungspunkt 0 sind $$\begin{array}{c|cccccc}n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\\hline \text{ Taylorterm} & 0 & -x & 0 & -x^3 & 0 & -x^5 & 0 & -x^7\end{array}$$ In Worte gefasst: Wenn \(n\) gerade ist, wird der Term \(0\), sonst ist der Term \(-x^n\). Die Taylorreihenentwicklung können wir mathematisch mit einer Fallunterscheidung ausdrücken:

$$T_0^n(f)=\begin{cases}-x^{n}&n\text{ ungerade}\\ 0 & n\text{ gerade}\end{cases}\quad n=0,1,2,3,\ldots $$ Hinweis: Der Ausdruck mit der Fakultät ist nicht ganz richtig: \(-(n!)=-(1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n)\).

Der Induktionsbeweis sollte nicht allzu schwer sein. Fange mit \(n=0\) an und komme dann auf den Schluss von \(n\to n+1\), um zu beweisen, dass das \(n\)-te Taylorpolynom unserer Vermutung entspricht.

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Ich ging davon aus, dass diese Schreibweise vielleicht nicht ganz so wie gewünscht wäre.

Ich werde damit, dann mal weiter machen.

Das mit n! war als 0 - n! gemeint für die Ableitung falls n ungerade.

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Gern geschehen!

Doch, das ist vollkommen legitim. So definiert man häufig Funktionen in der Mathematik.

Ja, theoretisch müsste man das noch machen. Es ist ja nur eine Vermutung, die wir aufgestellt haben. Deshalb muss man natürlich noch beweisen, dass die Vermutung korrekt ist. In diesem Fall jedoch ist das ja relativ zu sehen. Kommt also darauf an, wie das der Professor/Lehrer von euch gerne haben möchte.

Für die \(n\)-te Ableitung wäre das auch nicht ganz richtig.

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Ich schätze unsern Prof so ein, dass er das dann schon auch gerne hätte von daher passt das.

Dann nochmals vielen Dank für die Zeit :-)

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Ja, gerne. Freut mich, dass es dir geholfen hat!

Answer 2

Hallo

lies es als -x*1/(1-x^2) mit x^2=q und vergleiche mit der geometrischen Reihe!

Gruß lul

Comments

Achja das geht auch richtig, daran habe ich gar nicht mehr gedacht.

Ich denke auch das unser Prof eher auf diese Erkenntnis abzielt da wir unter anderem die geometrische Reihe behandelt haben.

Allerdings würde ich ersten Ansatz bevorzugen weil ich diesen für den Moment besser nachvollziehen kann und ich mich erst nochmal kurz einlesen muss, dennoch vielen Dank für die Anwort!