Unendlich oft differenzieren und Taylorreihen

Question

Aufgabe: $$f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{\cos(n^{2}x)}{2^{n}}$$

a) Wie zeigt man dass f auf |R unendlich oft diffbar ist?

b) Wie zeigt man dass die Taylor-Reihe um den Punkt x0=0 nur in x=0     konvergiert?

Answer 1

Hallo,

a) Nach der Summendarstellung der Kosinus-Funktion sehen wir, dass das Resultat ein Polynom von irgendeinem Grad \(n\) ist. Polynome sind unendlich oft differenzierbar. Also auch \(f\)

b) Hier verwendest du die Summendarstellung aus a) und zeigt, dass die entsprechnde Reihe nur für \(x=0\) konvergiert. Dazu hilft ggf. die Taylordarstellung der Funktion. Lässt sich die Taylorreihe nur für \(x=0\) abbilden, so ist dies ebenso ein Beweis dieser Behauptung.

Comments

Welches Resultat soll ein Polynom sein?

---

Vielen Dank für die Antwort.

An welcher Stelle setze ich n^2 x in die Summenform von cos ein?