Bestimme die Koordinatengleichung

Question

Aufgabe: Die Ebene E ist parallel zur x1-x3-Ebene und der Punkt P(11/21/32) liegt in der Ebene E. Bestimme die Koordinatengleichung.

Problem/Ansatz: kann mir bitte die Vorgehensweise erklären ?

!

LG

Lina

Answer 1

Wenn die Ebene \( \text{E} \) parallel zur \( x_1 / x_3 \) Ebene liegt, dann liegt der Vektor \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\-1\\0 \end{pmatrix}  \) senkrecht zu dieser Ebene.

Da der Punkt \( x_0 = \text{P} \) in der Ebene liegt, lautet die Ebenengleichung

$$ \vec{n} ( \vec{x}- \vec{x_0}) = 21 - y = 0 $$

Comments

Ist die -1 nicht ein faktor, den man ausmultiplizieren kann, dass y= -21 rauskommt ?

Answer 2

Aloha :)

Da die Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene verläuft, steht der Vektor \((0;1;0)\) auf dieser Ebene senkrecht, ist also ein Normalenvektor der Ebene:$$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}11\\21\\32\end{pmatrix}$$$$x_2=21$$Das Ergebnis ist auch einleichtend. Da die Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene verläuft, darf sich die \(x_2\)-Koordinate der Punkte nicht ändern, muss also konstant sein. Der gegebene Punkt hat die \(x_2\)-Koordinate \(21\). Daher kann man die Ebenengleichung \(x_2=21\) auch ohne Normalenvektor herleiten.

Comments

Könnte man also nicht [1,0,0] x [0,0,1] rechnen, dass der normalenvektor [0,-1,0] rauskommt ?

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Doch kann man, wenn man die Aufgabe maximal kompliziert machen möchte ;)

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Achso aber dann müsste man -1 ausmultiplizieren, damit das gleiche rauskommt oder nicht ?

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Es gibt ja unendlich viele Vektoren, die auf einer Ebene senktrecht stehen. Hier sind es alle Vielfachen des Vektors \((0;1;0)\), also auch \((0;-1;0)\). Der Unterschied ist, dass \((0;1;0)\) nach oben zeigt und \((0;-1;0)\) nach unten. In der Rechnung ergibt sich aber in beiden Fällen dieselbe Ebenengleichung: \(x_2=21\).

Answer 3

Der Normalenvektor der x1x3-Ebene ist [0, 1, 0]

Daher:

E: X·[0, 1, 0] = [11, 21, 32]·[0, 1, 0]
E: y = 21

Comments

Aber es ist doch die x1-x3-Ebene?

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Stimmt. War aber nur ein Tippfehler. Wie du vielleicht erkannt hast habe ich ja mit dem richtigen Normalenvektor gerechnet. Ich habe den Tippfehler aber verbessert.

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Okay dankeschön, also ist der normalenvektor der Ebene einfach der Normalenvektor von der x1-x3- Ebene ?

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Genau. Parallele Ebenen haben Normalenvektoren dir nur vielfache voneinander sind.