Koordinatengleichung der Ebene

Question

Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene, die durch die Geraden

g: (x,y,z) = (5,1,2) + s(0,2,3) und

h: (x,y,z) = (5,-3,4) + t(0,2,3)

aufgespannt wird.

Kann mir bitte jemand sagen, wie ich diese Aufgabe lösen soll?

Answer 1

Weil die beiden Geraden parallel liegen ,m1(0/2/3)=m2(0/2/3) kann man eine Ebene zeichnen

Dreipunktgleichung der Ebene

E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)

A(5/1/2) → a(5/1/2)

B(5/-3/4) → b(5/-3/4)  sind die beiden Stützpunkte (Stützvektoren) der beiden Geraden

C(cx/cy/cz)  aus einer der beiden Geradengleichungen

(cx/cy/cz)=(5/1/2)+1*(0/2/3)

cx=5+1*0=5

cy=1+1*2=3

cz=2+1*3=5

C(5/3/5) → c(5/3/5)

eingesetzt in die Ebenengleichung

E: x=(5/1/2)+r*((5/-3/4)-(5/1/2))+s*((5/3/5)-(5/1/2)) ergibt die

Vektorielle Parametergleichung der Ebene

E: x=a+r*u+s*v

u=b-a

v=c-a

ergibt die Normalengleichung der Ebene

E: (x-a)*n=0

Normalenvektor aus u kreuz v=n  oder über das Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0

1) ux*nx+uy*ny+uz*nz=0

2) vx*nx+vy*ny+vz*nz=0

nz=1 ergibt dann

1) ux*nx+uy*ny=-uz*1

2) vx*nx+vy*ny=-vz*1

Die Nornalengleichung ausgerechnert mit den Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=...

ergibt dann die Korodintengleichung der Ebene

E: a*x+b*y+c*z+d=0

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Text erkannt:

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\( c \)
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Answer 2

Aloha :)

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind parallel. Ihr gemeinsamer Richtungsvektor \((0|2|3)\) ist ein Richtungsvektor der Ebene. Einen zweiten Richtungsvektor finden wir aus der Differenz der Aufpunkte \((5|1|2)-(5|-3|4)\) bzw. \((0|4|-2)\). Wir benötigen einen Normalenvektor, der auf diesen beiden Richtungsvektoren senkrecht steht:

$$\vec n=\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4-12\\0-0\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-16\\0\\0\end{pmatrix}$$Die Ebenengleichung lautet daher:$$E:\;\vec n\cdot\vec x=\begin{pmatrix}-16\\0\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}=-80$$$$E:\;-16x=-80$$$$E:\;x=5$$Die Ebene liegt parallel zur \(yz\)-Ebene und schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=5\).

Answer 3

g: (x,y,z) = (5,1,2) + s(0,2,3)

h: (x,y,z) = (5,-3,4) + t(0,2,3)

Die beiden Geraden sind parallel zueinander, da die Richtungsvektoren parallel zueinander sind.
Daher kannst du für die gesuchte Ebene den Ansatz
E: (x,y,z) = (5,1,2) + s(0,2,3) + r((5,-3,4) - (5,1,2))
E: (x,y,z) = (5,1,2) + s(0,2,3) + r(0,-4,2)   
E: (x,y,z) = (5,1,2) + s(0,2,3) + m(0,-2,1)

Das nun noch in die Koordinatengleichung umwandeln, falls es stimmt bis hierhin.

Answer 4

Hallo Erdal,

bei dieser Aufgabe ist das sehr einfach und es lässt sich ohne Rechnung die Lösung bestimmen.

Die Richtungsvektoren liegen in der YZ-Ebene, da ihre X-Koordinaten =0 sind. Die X-Koordinaten beider Stützvektoren sind gleich (\(x=5\)). Folglich muss auch die X-Koordinate aller Punkte der gesuchten Ebene \(=5\) sein:

(klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus drehen und bekommst einen besseren räumlichen Eindruck)

Die gesuchte Koordinatengleichung der Ebene ist also $$E: \space x=5$$ Man müsste vielleicht noch prüfen, dass die beiden Geraden nicht identisch sind.

Gruß Werner