Beweisen oder widerlegen

Question

Aufgabe:beweisen oder widerlegen

∀x ∈ R: |x − 2| − |x − 4| ≤ 4.

Problem/Ansatz:

Man muss die aussage denke mal widerlegen da man nie =4 erreicht wird, nur weiß ich nicht wie ich das darstellen soll.

Comments

Die Aussage sagt nicht aus, dass das Ergebnis gleich 4 sein muss. Die Aussage sagt, dass für alle reellen Zahlen der Abstand von x und 2 subtrahiert mit dem Abstand von x und 4 immer kleiner oder gleich 4 ist.

Answer 1

Die Aussage ist wahr.

Ich stelle erstmal die Ungleichung um: \(\lvert x-2\rvert -\lvert x-4\rvert \leq 4 \iff \lvert x-2\rvert \leq \lvert x-4\rvert+4\)

1. Fall \(x\geq 2\) und \(x<4\): $$\begin{aligned}x-2&\leq -(x-4)+4&&\lvert\; (x-2) \text{ positiv, } (x-4) \text{ negativ}\\x &\leq -(x-4)+6\\x&\leq -x+4+6\\ 0&\leq 10\quad \checkmark\end{aligned}$$

2. Fall \(x\geq 4\): $$\begin{aligned}x-2& \leq x-4+4&&\lvert\;\text{beide Terme positiv oder } 0\\x-2&\leq x\\-2&\leq 0\quad \checkmark\end{aligned}$$

3. Fall \(x<2\): $$\begin{aligned}-(x-2)& \leq -(x-4)+4&&\lvert\;\text{ beide Terme negativ}\\-x+2&\leq -x+8\\2&\leq 8 \quad \checkmark\end{aligned}$$

Aussage ist für alle Fälle wahr \(\implies\) Aussage wahr für alle x aus den reellen Zahlen!

Comments

Danke, habe es jetzt verstanden

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Ja, gern geschehen.

Answer 2

Die Ungleichung gilt nicht für alle x∈ℝ.

Comments

Warum denn x>=3/4? Wenn ich z.b sowas wie 5 einsetzte bekomme ich 2 was aber nicht gleich 4 ist sondern nur kleiner als 4? Vielleicht verstehe ich gerade auch was falsch

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Man kann sehr wohl beweisen, ob die Aussage wahr oder falsch ist. In diesem Falle wird ja behauptet, dass für alle reellen Zahlen x die Ungleichung s.o. gilt. Nun können wir uns entweder ein Gegenbeispiel überlegen (falls eines existiert) oder zeigen, dass die Aussage wirklich für alle reellen Zahlen gilt.

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Habe meine Antwort verbessert.

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Die Aussage gilt aber auch zum Beispiel für \(x=10\), also kann deine Lösungsmenge nicht stimmen.

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Wie findet man geeignet ein gegenbeispiel? Wieß leider wirklich nicht wie ich da vorangehen soll...

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Du hast recht.

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Bertan, die Aussage ist wahr - siehe meine Antwort

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Kein Problem Roland, wir sind ja alle nur Menschen. Jeder macht Mal einen Fehler.

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@Bertan

Wie findet man geeignet ein gegenbeispiel?

Es gibt kein Gegenbeispiel.

:-)

Answer 3

Interessant ist es, sich den Funktionsgraphen anzusehen zum gegebenen Term anzusehen.

f(x)=|x − 2| − |x − 4|

x<2:  f(x)=-(x-2)-(-(x-4))=-x+2+x-4=-2≤4

2≤x≤4:  f(x)=(x-2)-(-(x-4))=x-2+x-4=2x-6

Ein steigender Geradenabschnitt mit den Endpunkten (2|-2) und (4|2). Da f(4)=2 gilt, ist die Ungleichung hier auch erfüllt.

x>4:  f(x)=(x-2)-(x-4)=x-2-x+4=+2≤4

:-)