Können Sie aufgrund der Wahrheitstabelle die Gültigkeit des Satzes begründen?

Question

Folgendes Problem:

Schreiben Sie den Satz "Falls \( n \) eine Primzahl ist, dann ist entweder \( n-1 \) oder \( n+1 \) durch 3 teilbar." formal durch eine entsprechende Verknüpfung von Aussageformen an und bilden Sie die Wahrheitstabelle. Können Sie aufgrund der Wahrheitstabelle die Gültigkeit des Satzes begründen? Beweisen oder widerlegen Sie den Satz.

Ich habe jetzt mal so begonnen das ich die Aussagen definiere und in eine Wahrheitstabelle geschrieben habe. Leider weiß ich jetzt nicht mehr weiter ^^. Bitte um eure Hilfe.

Bg

Answer 1

Der Satz ist wahr, wenn n≠3.

Beweis:

Von drei aufeinanderfolgenden Zahlen (n-1), n, (n+1) ist genau eine durch 3 teilbar. n ist es nicht. Also ist es entweder n-1 oder n+1.

Anmerkung:

Für n=3 ergibt sich ein Gegenbeispiel des ursprünglichen Satzes: "Falls n eine Primzahl ist, dann ist entweder n−1 oder n+1 durch 3 teilbar."

Comments

Vielen Dank auch dir für das nützliche Kommentar =)

Answer 2

3 ist eine Primzahl

3-1=2

3| 2 falsch

3+1 =4

3|4 falsch

Die Behauptung ist also falsch allerdings ist sie für alle anderen Primzahlen richtig, doch ein Beispiel reicht ja .

Doch für 2 ist 3| (2+1) richtig

für 5 ist 3| (5+1)richtig

Für alle Primzahlen größer 5 ist die Behauptung richtig, denn sie sind entweder von der Form 6m +1 oder 6m -1

m∈ℕ

Comments

Die Behauptung ist also falsch allerdings ist sie für alle anderen Primzahlen richtig, doch ein Beispiel reicht ja .

Das Gegenbeispiel reicht aus um zu zeigen, dass die Aussage nicht für alle Primzahlen gilt. Trotzdem ist das Beispiel aber nicht genug um die Aussage für alle anderen Primzahlen zu beweisen. Dafür müsstest du einen extra Beweis machen.

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Die Aussage gilt nicht für alle Primzahlen, da sind wir uns einig.

Das habe ich ja auch gesagt.

Weil die Behauptung für 2 jeweils falsch ist.

Für 2 ist die Aussage richtig das habe

Das habe ich auch gesagt.

Alle anderen Primzahlen, sind entweder von der Form 6m-1 oder von der Form 6+1 sagte ich auch, was ich dachte aber nicht gesagt habe ist dass sie jeweils in der Wahrheitstabelle ein richtig und ein falsch stehen haben.

Somit ist die Aussage für alle Primzahlen mit Ausnahme der 3 richtig.

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Erstmal vielen Dank für die ganzen hilfreichen Kommentare.

Das ein Gegenbeispiel reicht kapier ich jetzt.

Stimmt meine Wahrheitstabelle ? . Bzw. kann ich von der Wahrheitstabelle auf die Gültigkeit des Satzes schließen? . Oder war das nur ein Glückstreffer das keine Tautologie entstanden ist.

Bg