Pivot Positionen in einer matrix bestimmen

Question

Aufgabe: pivot Positionen in einer matrix bestimmen

Vollstaentige
Problem/Ansatz:

ich habe Probleme damit die pivot Positionen genau zu bestimmen.

Answer 1

Beim Gauß-Algorithmus arbeitet man sich am besten mit dem Hauptdiagonalenelement der jeweiligen Spalte voran. Wenn einer dieser Einträge Null ist, musst du ggf. Zeilen tauschen. $$A=\begin{pmatrix} \color{red}{-4} & -1 & 2\\ 0 & 4 & 3 \\ 2 & 3& 1 \end{pmatrix} \overset{2\cdot \text{III}-9\text{I}}\leadsto \begin{pmatrix} \color{red}{-4} & -1 & 2\\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 7& 0 \end{pmatrix}$$ Ich versuche jetzt hier mit dem Pivotelement der ersten Spalte, eine Null in \(a_{31}\) zu erzeugen, da in \(a_{21}\) bereits eine Null ist. Nun möchte ich, dass \(a_{32}\) zu einer Null wird. Dafür wähle ich das Pivotlement aus der zweiten Spalte:$$\begin{pmatrix} \color{red}{-4} & -1 & 2\\ 0 & \color{red}{4} & 3 \\ 0 & 7& 0 \end{pmatrix} \overset{4\cdot \text{III}-7\text{II}}\leadsto \begin{pmatrix} \color{red}{-4} & -1 & 2\\ 0 & \color{red}{4} & 3 \\ 0 & 0& -21 \end{pmatrix}$$ Der Vorteil davon ist, dass sich beim Addieren von einer Zeile auf die andere, nicht wieder die Nullen, die du hergestellt hast, aufheben.

Comments

Das ist leider nicht die Erklärung, nach der ich such. Um es noch mal genau zu sagen. Es geht mir darum, wann genau bezogen auf spalten und Zeilen es zu einer pivot Position kommt.

Trotzdem danke für Ihre Ausführungen.

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Für welchen Anlass ist diese Information denn vonnöten? Ein Pivotelement ist zunächst einmal nur ein Element einer Zahlenmenge, das als Erstes von einem Algorithmus ausgewählt wird, um Berechnungen durchzuführen. Ich habe dir gesagt, dass du immer die Hauptdiagonalenelemente nehmen kannst (insofern ≠0) für die Gaußschritte in der jeweiligen Spalte oder Zeile. Geht es dir überhaupt um den Gauß-Algorithmus?

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Da ich aktuell bei der fernuni Hagen ein Mathematik Studium angefangen habe, was mir auch großen Spaß macht, auch mit der Tatsache, daß ich mich des öfteren frage was Warum eben so ist. Und mit der abstrakten Erklärung kann ich mich im Moment noch nicht ganz anfreunden. Aber das kommt noch.

Gruesse Erich

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Hast du schon mal hier geschaut? Und dir überlegt, warum, wenn du mit den Hauptdiagonalenelemente arbeitest, diese nicht verschwinden? Denn wie du siehst, ist 4 und -4 sowohl in der Ursprungsmatrix als auch in der Matrix nach den Gaußschritten.

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Wenn du es abstrakter willst, hättest du deine Frage dementsprechend anpassen sollen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Pivotverfahren#Pivotansatz

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Das war jetzt ueber Wikipedia sehr abstrakt. Ich wuerde sagen,wir lassen es gut sein. Ich werde es schon rausbekommen.

Einen schönen Abend noch.

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Ich habe gestern Abend noch auf Youtube Erklärung gefunden. Da würden unterschiedliche Matrizen gezeigt und unter anderem die Stellung der 1 erklärt und was unterhalb und oberhalb sowie links und rechts von der 1 sein darf bzw. nicht sein darf. So etwas habe ich gemeint. Jedoch nichts für ungut und noch einen schönen Tag

Gruesse Erich

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Das hat RC doch auch erklärt mit dieser Antwort.

Du musst dann halt die Frage genauer stellen, sonst kann man auch nur allgemeine Antworten geben. Hättest du geschrieben: "Wie wählt man die Pivotelemente für den Gauß-Algorithmus aus und wie bringt man eine Matrix in die Zeilenstufenform?" dann hätte man auch gewusst, was du nicht verstehst und dir besser helfen können. Wenn du aber so eine allgemeine Frage ohne Zusammenhang stellst, geht das nicht. Du hättest ja auch dir eine Matrix ausdenken können und dann hätten wir dir anhand dieser den Algorithmus erklärt.

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Meine Frage war, ohne das Wort Probleme nochmals zu benützen, wie bestimme ich pivot Positionen. Darin kann man meiner Meinung nach schon daraus schließen, dass Unklarheiten über die genaue Existenz der Pivot Positionen besteht. Die für dich passende Formulierung wäre für mich unklar gewesen. Ich hätte zwar auch schreiben können, wie erkenne ich eine Pivot Position, das geht aus meiner Frage nach meiner Meinung heraus.

Gruesse Erich

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Ein Pivotelement ist zunächst einmal nur ein Element einer Zahlenmenge, das als Erstes von einem Algorithmus ausgewählt wird, um Berechnungen durchzuführen.

Ich habe nur vermutet, dass es sich um den Gauß-Algorithmus handelt - du hättest aber auch einen Quicksort-Algorithmus, Bubblesort-Algorithmus, ... meinen können. Pivotelement ist kein eigentlich-mathematischer Begriff.

Noch einmal: Hast du eine Matrix \(A\), gegeben durch:$$\begin{pmatrix} \color{red}{2} & 1 & 3 \\ 4 & \color{red}{1} & -2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Dann sind, wenn die ZSF suchst, die rot-markierten Einträge deine Pivotelemente. Möchtest du nur noch auf der Hauptdiagonalen Einträge habe, dann kommt noch die 2 ganz unten rechts dazu. Pivotelement hängt folglich von der Art des Algorithmus ab (LR-Zerlegung, Gauß-Algorithmus, ....)

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Guck vielleicht auch mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren#Pivotisierung

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Die Existenz des Pivots ist nicht a priori gewährleistet. Du musst eventuell -- wie gesagt -- Zeilen tauschen, wenn eines der Hauptdiagonalenelemente 0 ist.

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Um zum einen Ende zu kommen. Wenn nach Pivot Positionen in einer Matrix gefragt ist, oder Unklarheit ueber deren Bestimmung besteht, dann gibt es darauf klare Antworten, wie eben die in meinem Skript, die manchmal erst dann genau verstanden oder klar ist, wenn unterschiedliche Pivot Positionen nochmal gezeigt werden und dann wird so nach und nach auch die genaue mathematisches Formulierung klar. Mir wurde es durch die sehr anschauliche Darstellung im Video dann auch klar.

Gruesse Erich

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Welches Video sprichst du denn an? Kannst du das vielleicht teilen?

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Also dieses teilen habe ich noch nie gemacht, ich glaub auch nicht süß versehen. Also ich weiß nicht was ich tun muss um sowas zu teilen. Das Video lautet treppennormalform bei Matrizen, es dauert 9:05 Minuten und würde, wenn ich mich recht erinnere am 17:05:15 gepostet. Nochmal zu mir. Ich habe jetzt an der fernuni Hagen ein Mathematik Studium angefangen, da ich leider nur die Fachhochschulreife habe. Vorher war ich an der Lmu in Muenchen. Da ich mittlerweile 65 bin konnte ich mich zunächst nicht durchringen in die Vorlesung zu gehen. Ich hatte einfach wegen meines Alters eine Hemmschwelle. Da habe ich dann nach 30 Jahren Schulabstinenz begonnen meinen Wunschtraum zu verwirklichen. Nun gehe ich eben bis zum Bachelor auf die Fernuni und dann wieder auf die Praesenzuni. Ich habe übrigens in deinem Profil gelesen, dass du der Meinung bist Mathematik muss manchmal weh tun. Ich finde das nicht. Ich halte Mathematik wie viele andere für die groessten "Verarschung" die es gibt, bitte entschuldige den Ausdruck. Die Studenten die ich kenne, die sich so wie ich entschieden haben, sich damit auseinanderzusetzen, sind getrieben von der Frage, warum dieses oder jenes Problem für sie zunächst nicht lesbar ist. Sobald der Groschen gefallen ist, ist wieder alles vollkommen klar.

Gruesse Erich

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Ich habe im Moment das Gefühl, das ich bei dir so ein bisschen gegen eine Wand rede. Ich habe an der Lmu einige Uebungsleiter getroffen die Do einfach wie möglich und so klar wie möglich erklärt haben oder falls erforderlich auf etwas anderes verwiesen haben. Du hast vermutlich mit deiner Vorgehensweise beim Gauss Algorithmus recht aber dass hat mich in dem Fall garni ht so sehr interessiert. Nach der Sicht des Videos, kann man ganz einfach erklären, was so seinen Platz haben muss und dann kann man mit dem Gauss Algorithmus und der Treppennormalform auch eine Pivot Position erarbeiten. Denn nach dem Wissen ist uebung angesagt.

Gruesse Erich

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Nachvollziehen ist das Eine, selbst schöpferisch werden in der Mathematik das Andere. Dass Mathematik manchmal weh tun muss, ist ein gängiges Motiv, das Mathematiker der Vergangenheit beschrieben. Cardano bezeichnete z. B. das Ringen mit den durch seine kubischen Wurzeln entstandenen komplexen Zahlen (die es damals nicht gab) als "Überwindung geistiger Qualen".

Das ist aber auch eine persönliche Erfahrung: Mathe härtet ab, ist phasenweise wie eine Askese mit letztlich aber kathartischer Wirkung. Zum Mathestudium gehört Disziplin, Hartnäckigkeit und Durchhaltevermögen. Die Wurzeln sind bitter, die Früchte süß. Ich kenne keinen Menschen, der von sich behauptet, leichtfüßig durch die Welt der Mathematik zu schweben -- und wenn er es tut, lässt sich diese Auffassung auf Unwissenheit, Hybris oder Verzweiflung zurückführen.

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Es scheint tatsächlich so, als würde ich dich nicht verstehen. Nun gut, dann lassen wir es.

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Abharrten hat mit dem Immunsystem zu tun. Das Befassen mit mathematischen Strukturen ist den meisten zu anstrengend, darum höheren die meisten damit auf. Und der Rest uebt eben bis zum geht nicht mehr weil man es eben wissen will.

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Nachdem ich mit etwas Abstand diese Kommentare nochmal durchgelesen habe, sehe ich einiges doch etwas anders. Ich möchte zum kurz meinen Hintergrund darstellen. Ich bin im SoSe 18 nach längerem Ringen mit mir selbst mit 63 Jahren in ein Zweitsemester Vorl. In der Lmu in Muenchen gegangen. Ursprünglich wollte ich vor 30 Jahren nach dem Abi. Am Koeln Kolleg im ZBW Mathematik studieren. Es kam dann einiges anders. Es kam zum Fachabi gerade mal so. Als ich 2018 dann den Schritt nochmal wagte, war ich anfangs total erschlagen, konnte aber nach Beendigung des 2. Und 3. Sem. doch ein paar Dinge mitnehmen. Mir war dann klar, dass Mathestudium war anders als ich mir das vorgestellt habe und ich wusste, es ist machbar. Ich. Da ich Fachabi. habe war ein Einschreiben nicht möglich. Sehr zu meinem Bedauern. Das haette sicher einen großen Motivationsschub gegeben. Jetzt bin ich an der fernuni Hagen gelandet und bin nach einer Trennung zum ersten Mal in die Lage versetzt worden ein Notebook anzurichten, das funktioniert so langsam. Ich brauch halt immer ein bisschen länger. Im Nachhinein kann ich vor allem den Kommentar von Dir ganz gut nachvollziehen. Der Druck, den ich jetzt habe, tut schon gut. Es ist quasi ein 24 Std. Job. Die Pivot Sache von dir kann ich jetzt besser nachvollziehen obwohl ich diese andere Darstellung für mich, wo zunächst alles oder fast alles weg war etwas angenehmer.

und nichts für ungut ich hatte einfach nicht die Möglichkeit so schnell am Anfang nachzudenken.

Nochmals viele Grüße

Erich