Beschreibung einer Flugbahn eines Balles im dreidimensionalen Raum mittels Funktionen

Question

Guten Tag werte Mathelounge!

Aufgabe:

Ein Ball hat zum Zeitpunkt t= 0 eine Geschwindigkeit von 6m/s in Richtung (1,−2,2). Auf den Ball wirkt als einzige Kraft die Erdbeschleunigung ein. Geben Sie Differentialgleichungen an, die die Bahn des Balles (x(t), y(t), z(t)) beschreiben.

Problem/Ansatz:

Ich hätte zuerst versucht, über die Erdbeschleunigung mir die anderen Gleichungen herzuleiten, jedoch gelang mir dies nicht.

Mein Ansatz:

s(t)=at²+bt+c

v(t)=2at+b

a(t)=2a = -g -> a= \( \frac{-g}{2} \)

Daraus schloss ich auf v(t)=-g*t+b. Durch Einsetzen von der in der Angabe enthaltenen Geschwindigkeit 6m/s bei t=0 (ist das erlaubt??) kam ich auf b=6. Daraus ergab sich wiederum s(t)= \( \frac{-g}{2} \) *t²+6t+c. An diesem Punkt komme ich leider nicht mehr weiter, wie kann ich nun auf die Bahn des Balles (x(t), y(t), z(t)) schließen? Kann ich einfach in s(t) bei t=0 die Argumente der Richtung (also x=1, y=-2, c=2) einsetzen und so die einzelnen Gleichungen aufstellen?

Leider weiß ich hier nicht mehr weiter. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar! :)
Gruß.

Comments

Die Erdbeschleunigung stört nur entlang der Applikate.

Answer 1

Hallo

in x und y Richtung wirkt keine Kraft also

x''(t)=0  mit der Anfangsbedingung x'(0)= v_x , x(0)= festlegen

ebenso y''(t)=0

z''(t)=-g

das sind die gesuchten Differentialgleichungen, nur noch für die Anfangsbedingungen den Anfangspunkt festlegen und aus |v| und Richtung die 3 Anfangsgeschwindigkeiten bestimmen.

natürlich ist in z Richtung v_z(0)  nicht  6m/s

geschrieben hast du nur, dass du die Dgl brauchst, ob du die Bahn brauchst steht da nicht, ist aber leicht aus den Dgl zu bestimmen.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Der Geschwindigkeitsvektor zu Beginn ist: \(\vec v_0=(2;-4;4)^T\). Ich habe die Komponenten verdoppelt, weil dann der Vektor die Länge \(\sqrt{2^2+(-4)^2+4^2}=6\) hat, was dem Tempo von \(6\,\mathrm m/\mathrm s\) bei \(t=0\) entspricht. Weil die Gravitationskraft in die entgegengesetzte \(z\)-Richtung wirkt, lautet die Bewegungsgleichung:$$\begin{pmatrix}\ddot x\\\ddot y\\\ddot z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-g\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_0=\begin{pmatrix}2\\-4\\4\end{pmatrix}\quad;\quad g=9,81$$Die Einheiten habe ich alle weggelassen, weil wir alle Zahlenwerte in den Basiseinheiten des SI-Systems vorliegen haben. Im nächsten Schritt integrieren wir diese Bewegungsgleichung:$$\begin{pmatrix}\dot x\\\dot y\\\dot z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-gt\end{pmatrix}+\vec v_0=\begin{pmatrix}0\\0\\-gt\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\4-gt\end{pmatrix}$$Mehr können wir nicht tun, für die nächste Integration brauchen wir die Koordinaten \(\vec s_0\) des Balles zum Zeitpunkt \(t=0\).