Termumformung Schreibweise nicht verstanden

Question

Aufgabe:

\( 1-\frac{a}{\frac{a}{1+a}}=1-\frac{a}{1} \cdot \frac{1+a}{a} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen, wie ich auf diesen Schritt komme?

Answer 1

Du hast einen Doppelbruch. Diesen kannst du vereinfachen, indem du mit dem Reziproken (dem Kehrwert) multiplizierst: $$\begin{aligned}1- \frac{a}{\frac{\textcolor{red}a}{\textcolor{green}{1+a}}}&=1-\frac{a}{1}\cdot \frac{\textcolor{green}{1+a}}{\textcolor{red}a}\\&=1-\frac{\textcolor{blue}a\cdot (1+a)}{\textcolor{blue}a}\\&=1-\frac{\cancel a \cdot (1+a)}{\cancel a}\\&=1-(1+a)\\&=1-1-a\\&=-a\end{aligned}$$

Comments

Cool, ich wusste gar nicht, dass man mit \cancel so schön durchstreichen kann.

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Ja danke, ich finde das persönlich auch sehr ansprechend. Hilft enorm um Umformungen zu visualisieren :)

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Man kann das übrigens noch anpassen: Mit \bcancel geht der Strich von rechts nach links und mit \xcancel kannst du durchkreuzen. Außerdem kannst du mit \cancelto Sachen machen wie \cancelto{1}

\frac{x}{x}=\frac{\cancelto{1}{x}}{\cancelto{1} {x}}=1

Das ist aber leider fehlerhaft mit Mathjax. Normalerweise sind die Abstände dabei anders und der Pfeil verdeckt nicht die ganze Formel. Dafür gibt es normalerweise die Option \usepackage[makeroom]{cancel}, welche hier aber nicht funktioniert, da keine neuen oder mit Optionen versehende Pakete eingebunden werden können.

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Ich danke euch. Ich habe das komplett aus den Augen verloren, mit dem Kehrbruch.

Answer 2

Bruchrechenregel:

Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

$$1-\frac{a}{\frac{a}{1+a}} = 1-a \cdot \frac{1+a}{a} = 1- (1+a) = -a$$

Answer 3

Man dividiert Brüche, indem wir mit dem Kehrwert multiplizieren.

Danach rechnet man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner

$$1-a/(a/(1+a))=$$$$1-(a/1)/(a/(1+a))=$$

$$1-(a/1)*((1+a)/a)=$$$$1-a(1+a)/a=$$$$1-(1+a)=-a$$