Richtung des größten Anstiegs im Punkt (-2,1) und Tangentenrichtung der Niveaulinie im Punkt (-2,1) berechnen

Question

Gegeben sei die Funktion f : ℝ² → ℝ mit f (x,y) = xy² . Ermittel die Richtung des größten Anstiegs von f im Punkt (-2,1) und die Richtung der Tangente an die Niveaulinie von f in diesem Punkt.

Richtung des größten Anstiegs im Punkt (-2,1) =

Tangentenrichtung an der Niveaulinie im Punkt (-2,1) =

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ? irgendwie verstehe ich nicht was ich da machen soll

Bedanke mich im Voraus !

Answer 1

Richtung des größten Anstiegs ist der Gradient.

Richtung der Tangente an die Niveaulinie ist senkrecht zum Gradienten.

Comments

Ah oki, ich konnte jetzt die Richtung des größten Anstiegs berechnen, jedoch komme ich nicht auf die Richtung der Tangente ? Weißt du wie man diese berechnet ?

Danke dir !

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Wie Oswald sagt: Ein Vektor, der senkrecht zum Gradienten in diesem Punkt steht. Orthogonalitätsbedingung über Skalarprodukt.

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Richtung der Tangente an die Niveaulinie ist senkrecht zum Gradienten.

Wenn du "senkrecht" hörst, dann solltest du "Skalarprodukt ist Null" denken.

Wenn also \(\begin{matrix} x\\y \end{matrix} \) (die Richtung der Tangente an die Niveaulinie) senkrecht zu \( \begin{pmatrix} 1\\-4 \end{pmatrix} \) sein soll, dann muss

\( \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \cdot \begin{matrix} 1\\-4 \end{matrix} = x-4y = 0\)

sein.

Löse also die Gleichung

\(x - 4y = 0\).

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Wähle doch einfach (4,1) und da es nur um die richtung geht normiere 1/sqrt(17)*(4,1)