Aloha :)
Da wir die Fläche "zwischen" den beiden Funktionen berechnen sollen, benötigen wir die gemeinsamen Schnittpunkte. Zu deren Ermittlung setzen wir die beiden Funktionen gleich:$$\left.f(x)=g(x)\quad\right|\quad\text{Funktionsgleichungen einsetzen}$$$$\left.(x-2)e^x=\frac{1}{4}e^x\quad\right|\quad\text{Da \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\), dividieren wir durch \(e^x\)}$$$$\left.x-2=\frac{1}{4}\quad\right|\quad+2$$$$x=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$Damit haben wir eine Grenze für das Integral gefunden. Die zweite Grenze finden wir durch die Überlegung, dass \(e^x\) für \(x\to-\infty\) gegen \(0\) konvergiert. Die Funktion \(g(x)\) ist stets positiv, kann also nur von oben her gegen \(0\) konvergieren. Die Funktion \(h(x)\) ist für \(x<2\) stets negativ, denn dann ist \(x-2<0\) und \(e^x>0\), sodass das Produkt \(<0\) ist. Die Funktion \(h(x)\) konvergiert daher von unten gegen \(0\). Die andere Grenze des Integrals ist also \(-\infty\).
~plot~ (x-2)*e^x ; 1/4*e^x ; {9/4|e^(9/4)/4} ; [[-6|3|-3|5]] ~plot~
Die gesuchte Fläche ist also:$$F=\left|\int\limits_{-\infty}^{9/4}(f(x)-g(x))\,dx\right|=\left|\int\limits_{-\infty}^{9/4}\left((x-2)e^x-\frac{1}{4}e^x\right)\,dx\right|=$$$$\phantom{F}=\left|\int\limits_{-\infty}^{9/4}\underbrace{\left(x-\frac{9}{4}\right)}_{=u}\,\underbrace{e^x}_{=v'}\,dx\right|=\left|\left[\underbrace{\left(x-\frac{9}{4}\right)}_{=u}\,\underbrace{e^x}_{=v}\right]_{-\infty}^{9/4}-\int\limits_{-\infty}^{9/4}\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{v}\,dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|[0-0]-\left[e^x\right]_{-\infty}^{9/4}\right|=\left|-e^{9/4}+0\right|=e^{9/4}\approx9,487736$$
Hier noch die Rechnung, wenn die \(y\)-Achse die Fläche nach unten begrenzt:
$$F=\left|\int\limits_0^{9/4}(f(x)-g(x))\,dx\right|=\left|\int\limits_0^{9/4}\left((x-2)e^x-\frac{1}{4}e^x\right)\,dx\right|=$$$$\phantom{F}=\left|\int\limits_0^{9/4}\underbrace{\left(x-\frac{9}{4}\right)}_{=u}\,\underbrace{e^x}_{=v'}\,dx\right|=\left|\left[\underbrace{\left(x-\frac{9}{4}\right)}_{=u}\,\underbrace{e^x}_{=v}\right]_0^{9/4}-\int\limits_0^{9/4}\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{v}\,dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[0-\left(-\frac{9}{4}\right)\right]-\left[e^x\right]_{0}^{9/4}\right|=\left|\frac{9}{4}-(e^{9/4}-1)\right|=\left|\frac{13}{4}-e^{9/4}\right|\approx6,237736$$
