Fläche wird durch Kurve r=2(cos(φ)+sin(φ)), 0 ≤ φ≤pi/2 eingegrenzt.

Question

Aufgabe:

Eine Fläche wird durch die Kurve r=2(cos(φ)+sin(φ)), 0 ≤ φ≤π/2 eingegrenzt.

Wie groß ist die Fläche? 
Problem/Ansatz:

Ansatz: Stinknormal integrieren von 0 ≤ φ≤π/2. Als Ergebnis kommt dann 4 raus in RAD.

\( \int\limits_{0}^{\pi/2} \) 2(cos(φ)+sin(φ)) dφ

--> 2sin(φ)-2cos(φ) Grenzen einsetzen → 4

Stimmt das so, oder denk ich zu einfach

Comments

Das wäre richtig, wenn r(phi) einfach eine normale Funktion wäre wie x(y) und die Fläche unter dem Graphen zu bestimmen ist.

Üblicherweise ist das aber die Beschreibung einer Kurve in Polarkoordinaten, daher sieht wie folgt aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+r(phi)%3D2(cos(phi)%2Bsin(phi)),+0%3C%3Dphi%3C%3Dpi%2F2

Dann wäre ein Flächenintegral zu bestimmen. Was zu tun ist, musst du von Kontext her wissen.

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hab jetzt die Polarkoordinaten in Kartesische Form umgewandelt.

2(x+y)-x²-y²=0

Hab als Grenzen dann für x (0,2) und für y ebenso. Bei den Grenzen bin ich mir unsicher.

bekomm dann so 5,3 heraus. Mit Näherung geht es auch so in die Richtung.

Answer 1

Hm.

Einmal ganz elementar komm ich auf = 2 + π  = 5.14

oder

über das Integral der Halbfunktionen

{y = sqrt((-x^(2)) + (2 * x) + 1) + 1, y = (-sqrt((-x^(2)) + (2 * x) + 1)) + 1}

Integral(c_1, 0,1+sqrt(2))-Integral(c_2,2,1+sqrt(2))

Answer 2

über das Flächenintegral erhalte ich

A=∫dA=

∫ (0 bis pi/4) dphi *( ∫ (0 bis r(phi)) rdr)

=4*∫ (0 bis pi/4) dphi * (COS(phi)+sin(phi))^2

=8*∫ (0 bis pi/4) dphi * sin(phi+pi/4)^2

= part. Integration ...

=8*(2+pi)/8=2+pi