Alternativer Weg zur Berechnung der Varianz

Question

Aufgabe:

Folgende Frage stellt sich mir: Im Statistik-Skript wird beschrieben, dass sich die Varianz, welche ich normal über:

σ²= V(X) = ∑ (xi - μ)²*px(xi) berechne, auch über den Weg V(X) = E((X - μ)² = E(X²) - μ² ermittelt werden kann.

Problem/Ansatz:

Ich kann nicht nachvollziehen, wie man hier diese Gleichung verstehen soll E((X - μ)² = E(X²) - μ² . Wenn ich das "Binom?!" auf den linken Seite der Gleichung auflöse, dann komme ich nicht auf den Wert der rechten Seite. Und die allgemeine Idee hinter der ganzen Sache ist mir auch nicht wirklich klar.

Also im linken Teil der Gleichung ziehe ich vom Erwartungswert E(X) wiederum den Erwartungswert der ja gleichzeitig μ ist ab und quadriere es dann? Das verwirrt mich total denn da müsste dann doch eigentlich 0 rauskommen.

Wir wäre sehr geholfen, wenn ihr mir einfach mal erklären könnt, wie man die Formel verstehen kann man dazu ein simples Beispiel konstruieren?

Vielen Dank vorab :)

…

Answer 1

\( \begin{aligned} E\left(\left(X-\mu\right)^{2}\right) & =\sum\left(x_{i}-\mu\right)^{2}p(x_{i}) \\ & =\sum\left(x_{i}^{2}-2x_{i}\mu+\mu^{2}\right)p(x_{i}) \\ & =\sum x_{i}^{2}p(x_{i})-\sum2x_{i}\mu p(x_{i})+\sum\mu^{2}p(x_{i}) \\ & =\sum x_{i}^{2}p(x_{i})-2\mu\sum x_{i}p(x_{i})+\sum\mu^{2}p(x_{i}) \\ & =E\left(X^{2}\right)-2\mu^{2}+\mu^{2} \\ & =E\left(X^{2}\right)-\mu^{2} \end{aligned} \)