Aufgabe:
Es seien G und H zwei Gruppen, und es sei ϕ : G → Aut(H) ein Gruppenhomomorphismus.
Das semi-direkte Produkt von G und H über ϕ ist die Menge H × G mit der Verknüpfung
(h1, g1) ∙ (h2, g2) := (h1ϕ(g1)(h2), g1g2),
und wird mit H oϕ G bezeichnet.
(a) Zeigen Sie, dass H oϕ G eine Gruppe ist.
(b) Zeigen Sie, dass es Gruppenhomomorphismen
H i/ →H oϕ G π/→G
gibt, die eine exakte Sequenz bilden, d.h. i ist injektiv, π ist surjektiv, und Bild(i) = Kern(π). Konstruieren Sie eine Spaltung der Sequenz, d.h. einen Gruppenhomomorphismus s : G → H oϕ G mit der
Eigenschaft π ◦ s = id_G.
(c) Sei nun umgekehrt
H i/→K π/→G
eine exakte Sequenz mit einer Spaltung s. Geben Sie einen Gruppenhomomorphismus ϕ : G → Aut(H)
an, so dass K ∼= H oϕ G ist.
(d) Zeigen Sie: D_n ∼= Z_n o Z_2 für die Diedergruppe D_n 
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