Zeigen Sie: rg(f + g) ≤ rg(f) + rg(g).

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und seien f, g ∈ End_K(V )
zwei Endomorphismen von V .

(a) Zeigen Sie: rg(f + g) ≤ rg(f) + rg(g).

(b) Geben Sie ein Beispiel von zwei Endomorphismen f, g ∈ End_ℝ(ℝ²), so dass rg(f + g) < rg(f) + rg(g) gilt.

(c) Geben Sie ein Beispiel von zwei Endomorphismen f, g ∈ Endℝ(ℝ2), so dass rg(f + g) = rg(f) + rg(g) gilt.

Answer 1

Hallo,

bei a) könntest du mit darstellenden Matrizen rangehen. Du nimmst also eine Basis \(B\) von \(V\) und definierst dir so die Darstellungsmatrizen \(M_B(f),M_B(g)\in \mathbb{K}^{n,n}\)von \(f,g:\ V\rightarrow V\), wobei \(n:=dim(V)\). Nun ist doch der Rang bei Matrizen die Dimension des Bildes von ihnen, oder anders gesagt, die Anzahl an linear unabhängigen Spalten einer Matrix.

Überlege dir nun für den Rang, was passiert, wenn du die beiden (Darstellungs - ) Matrizen addierst.

Bei b) und c) eignen sich auch wieder Matrizen anzugeben. Bei b) wird eben durch die Addition die Dimension des Bildraums verkleinert, sodass der Rang kleiner wird, bei c) hingegen, soll man Endomorphismen (also zb Matrizen) so wählen, sodass sich trotz Addition nichts an der Dimension des Bildraumes ändert.