Zeigen Sie, dass die Menge Symn(ℝ) einen Unterraum von ... bildet.

Question

Aufgabe:

Eine quadratische Matrix A ∈ Mat(n × n, R) heisst symmetrisch, falls

^tA = A ist. Sie heisst schiefsymmetrisch (oder alternierend), falls ^tA = −A ist.

(a) Zeigen Sie, dass die Menge Sym_n(ℝ) aller symmetrischen Matrizen einen Unterraum von
Mat(n × n, ℝ) bildet. Bestimmen Sie die Dimension von Sym_n(ℝ).

Answer 1

dass die Menge Symn(ℝ) aller symmetrischen Matrizen einen Unterraum von
Mat(n × n, ℝ) bildet.

Rechne einfach nur die Untervektorraumaxiome nach.

Bestimmen Sie die Dimension von Symn(ℝ).

Schaue dir vielleicht erstmal Fälle mit kleinen Dimensionen an, zb 1,2,3. Beispielsweise sieht das bei Dimension 2 so aus:

\(\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}=a\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\).

Hier hast du also 3 Basisvektoren, die dir eine symmetrische 2x2 Matrix bauen. Anders ausgedrückt: Du hast bei Dimension 2 nun 3 Freiheitsgrade eine symmetrische Matrix zu bestimmen. Stell dir nun also eine ,,größere" symmetrische Matrix vor:

\(\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots & a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&\cdots & a_{2n}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\vdots&\vdots&&\ddots\\a_{1n}&a_{2n}&&&a_{nn}\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{n,n}\). Überlege dir nun wie viele verschiedene Einträge im oberen Dreiecksteil zusammen mit den Elementen auf der Hauptdiagonalen bei \(n^2\) Einträgen in dieser Matrix möglich sind.

Comments

Wäre dann die Anzahl Freiheitsgraden (2*n)-1

und die Dimension (2*n)-2

?

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Nein. Wie bist du denn auf dein Ergebnis gekommen?

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Da hab ich was verwechselt. habb es heute morgen noch mal gemacht und bin auf dim(Sym_n(ℝ))=(n(n+1))/2 gekommen.

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Genau, denn die Anzahl an auswählbaren Zahlen pro Zeile (oder Spalte; je nachdem, wie man es sehen mag) unterscheidet sich immer um eins.

Damit hat man also \(dim(Sym_n(\mathbb{R}))=\sum\limits_{i=1}^n i =\frac{n(n+1)}{2}\).