Bestimmen Sie den Rang von f.

Question

Aufgabe:

Sei A =\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & -5 & 6 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \) und sei f : ℝ⁴ → ℝ³ definiert durch
f(x) = Ax für alle Spaltenvektoren x ∈ R⁴.

(a) Bestimmen Sie den Rang von f.
(b) Bestimmen Sie Basen Α von ℝ⁴ und Β von ℝ³, so dass M^A_B(f) =\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) .

Comments

Was davon kannst du?

Was genau gar nicht?

Answer 1

Wenn du b gelöst hast ist a) trivial: Rang = 2.

b) Eine Basis für den Kern ist z.B.

$$\begin{pmatrix} 2\\-3\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\2\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Diese kannst du zu einer Basis von R^4 ergänzen, etwa durch :

$$\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

Damit hast du als Basis von R^4

$$\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\-3\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2\\2\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Und für die Basis von R^3 ergänzt du die Bilder der ersten beiden Basisvektoren, also

$$\begin{pmatrix} 2\\4\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$$

zu einer Basis von R^3 z.B. durch

0
0
1.

Comments

Wie bekommst du mit den beiden Basen dann:MAB(f) \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)