Aufgabe:
Sei A ∈ Mat(m, n; K) mit n ≤ m. Zeigen Sie, dass Rang A = n genau dann, wenn
es ein B ∈ Mat(n, m; K) gibt mit BA = E(n)
Problem/Ansatz:
gibt es eine B∈Mat(n,m;K) und A∈Mat(m,n;K) mit BA=E^((n) ), also dim E = n, müssen in A und B genau n linear unabhängige Vektoren drin gewesen sein, denn sonst würde es sich beim Produkt nicht um die Einheitsmatrix handeln. Da der Rang(A) durch dim(Bild(A))definiert ist, von welchem wir nun wissen, dass es n ist, wissen wir, das Rang A=n ist. ∎
Reicht es dies so zu zeigen? Ich bin mir sehr unsicher in Mathe
Text erkannt:
gibt es eine \( B \in \operatorname{Mat}(n, m ; K) \) und \( A \in \operatorname{Mat}(m, n ; K) \) mit \( B A=E^{(n)} \), also \( \operatorname{dim} E=n \), müssen in \( A \) und \( B \) genau n linear unabhängige Vektoren drin gewesen sein, denn sonst würde es sich beim Produkt nicht um die Einheitsmatrix handeln.
Da der Rang \( (A) \) durch \( \operatorname{dim}( \) Bild \( (A)) \) definiert ist, von welchem wir nun wissen, dass es \( n \) ist, wissen wir, das Rang \( A=n \) ist.
