wenn E 24 z.B. heißt: Die Matrix, die aus lauter 0en besteht und an der Stelle 2,4
( 2. Zeile 4. Spalte ) eine 1 hat, dann ist
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
P24 = 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
und
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
R42 (√5) = E5 + 0 0 0 0 0
0 √5 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
= 0 0 1 0 0
0 √5 0 1 0
0 0 0 0 1
Und wenn man das Skalarprodukt der i-ten Zeile von Pi,j mit der i-ten Spalte von Pi,j bildet,
dann haben diese Zeile und diese Spalte genau an der gleichen Stelle eine 1 und sonst alles
0en, also ist das Skalarprodukt gleich 1 und damit hat das Produkt von Pi,j mit sich selbst
jedenfalls in der Hauptdiagonale alles 1en.
Nimmt man nun für i ≠ j das Skalarprodukt der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte, so haben
diese nie an der gleichen Position die 1, sondern da, wo der eine die 1 hat, hat der
andere die 0, also ist das Skalarprodukt 0 und damit sind außerhalb der
Hauptdiagonalen von Pi,j * Pi,j alles 0en. = > Pi,j * Pi,j = En also
Pi,j zu sich selbst invers.
Bei Ri,j (λ) ist es ähnlich, nur wenn die i-ten Zeile mit der j-ten Spalte multipliziert wird;
dann würde 1*λ + 1*λ entstehen, und damit das eine 0 wird, muss in einer der beiden
Faktoren λ durch - λ ersetzt werden.