Geben Sie die Matrizen P24, R42( √ 5) ∈ Mat(5; R) an

Question

Für  i, j ∈ {1, . . . , n}  mit i ≠ j und λ ∈ K definieren wir Matrizen P_ij , R_ij (λ) ∈ Mat(n; K) durch : 

P_ij = E_n − E_ii − E_jj + E_ij + E_ji      und    R_ij (λ) = E_n + λE_ij

Geben Sie die Matrizen P₂₄, R₄₂( √ 5) ∈ Mat(5; R) an und

Zeigen Sie: Die Matrizen P_ij , R_ij (λ) sind invertierbar und es gilt (P_ij ) ⁻¹ = P_ij     sowie    (R_ij (λ))⁻¹ = R_ij (−λ).

Answer 1

wenn  E 24 z.B. heißt:   Die Matrix, die aus lauter 0en besteht und an der Stelle 2,4

( 2. Zeile 4. Spalte ) eine 1 hat, dann ist 

             1    0     0      0       0  
              0    0     0      1       0 
P₂₄  =    0    0     1      0        0 
             0    1    0      0       0 
             0    0     0      0        1 

und   

                               0      0     0      0       0  
                               0      0    0       0       0 
R₄₂ (√5) =  E₅  +     0     0       0       0        0 
                               0     √5    0      0       0 
                               0      0     0      0         0  

                             1            0     0           0        0  
                               0          1     0           0       0  
=                             0          0     1           0         0 
                               0         √5    0          1         0 
                               0          0      0          0        1

 

Und wenn man das Skalarprodukt der i-ten Zeile von P_i,j mit der i-ten Spalte von P_i,j bildet,

dann haben diese Zeile und diese Spalte genau an der gleichen Stelle eine 1 und sonst alles

0en, also ist das Skalarprodukt gleich 1 und damit hat das Produkt von  P_i,j mit sich selbst

jedenfalls in der Hauptdiagonale alles 1en.

Nimmt man nun für i ≠ j  das Skalarprodukt der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte, so haben

diese nie an der gleichen Position die 1, sondern da, wo der eine die 1 hat, hat der

andere die 0, also ist das Skalarprodukt 0 und damit sind außerhalb der

Hauptdiagonalen von    P_i,j *  P_i,j  alles 0en.  = >      P_i,j *  P_i,j  = E_n    also 

   P_i,j   zu sich selbst invers.

Bei R_i,j  (λ)   ist es ähnlich, nur wenn die  i-ten Zeile mit der j-ten Spalte multipliziert wird;

dann  würde 1*λ + 1*λ  entstehen, und damit das eine 0 wird, muss in einer der beiden

Faktoren λ durch  - λ ersetzt werden.