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Für  i, j ∈ {1, . . . , n}  mit ≠ j und λ ∈ K definieren wir Matrizen Pij , Rij (λ) ∈ Mat(n; K) durch :

Pij = En − Eii − Ejj + Eij + Eji      und    Rij (λ) = En + λEij

Geben Sie die Matrizen P24, R42( √ 5) ∈ Mat(5; R) an und

Zeigen Sie: Die Matrizen Pij , Rij (λ) sind invertierbar und es gilt (Pij ) −1 = Pij     sowie    (Rij (λ))−1 = Rij (−λ).

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wenn  E 24 z.B. heißt:   Die Matrix, die aus lauter 0en besteht und an der Stelle 2,4

( 2. Zeile 4. Spalte ) eine 1 hat, dann ist 

             1    0     0      0       0  
              0    0     0      1       0 
P24  =    0    0     1      0        0 
             0    1    0      0       0 
             0    0     0      0        1 

und   

                               0      0     0      0       0  
                               0      0    0       0       0 
R42 (√5) =  E5  +     0     0       0       0        0 
                               0     √5    0      0       0 
                               0      0     0      0         0  

                             1            0     0           0        0  
                               0          1     0           0       0  
=                             0          0     1           0         0 
                               0         √5    0          1         0 
                               0          0      0          0        1

 

Und wenn man das Skalarprodukt der i-ten Zeile von Pi,j mit der i-ten Spalte von Pi,j bildet,

dann haben diese Zeile und diese Spalte genau an der gleichen Stelle eine 1 und sonst alles

0en, also ist das Skalarprodukt gleich 1 und damit hat das Produkt von  Pi,j mit sich selbst

jedenfalls in der Hauptdiagonale alles 1en.

Nimmt man nun für i ≠ j  das Skalarprodukt der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte, so haben

diese nie an der gleichen Position die 1, sondern da, wo der eine die 1 hat, hat der

andere die 0, also ist das Skalarprodukt 0 und damit sind außerhalb der

Hauptdiagonalen von    Pi,j *  Pi,j  alles 0en.  = >      Pi,j *  Pi,j  = En    also 

   Pi,j   zu sich selbst invers.

Bei Ri,j  (λ)   ist es ähnlich, nur wenn die  i-ten Zeile mit der j-ten Spalte multipliziert wird;

dann  würde 1*λ + 1*λ  entstehen, und damit das eine 0 wird, muss in einer der beiden

Faktoren λ durch  - λ ersetzt werden.









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