Wie vereinfacht man die Aussageformel A∧(B∨¬A)∧(¬B∨C)?

Question

Aufgabe:

Wie vereinfacht man die Aussageformel A∧(B∨¬A)∧(¬B∨C) ?

Problem/Ansatz:

Als erster Schritt im möglichen Lösungsweg wird folgende Umformung genannt.

A∧(B∨¬A)∧(¬B∨C)  ⇔  (A∧B∧¬B)∨(A∧B∧C)∨(A∧¬A∧¬B)∨(A∧¬A∧C)

Wie kommt man nur darauf ?

Das Distributivgesetz ist mir bekannt, wie wendet man das in diesem Fall an?

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe immer \(\cdot\) statt \(\land\) und \(+\) statt \(\lor\), weil ich dann mittels Punkt-vor-Strich viele Klammern sparen kann. Zum Vereinfachen der Formel reicht das Distributivgesetz dann völlig aus:$$\phantom{=}A\land(B\lor\lnot A)\land(\lnot B\lor C)=A(B+\overline A)(\overline B+C)=(AB+\overbrace{A\overline A}^{=0})(\overline B+C)$$$$=AB(\overline B+C)=A\underbrace{B\overline B}_{=0}+ABC=ABC=A\land B\land C$$

Answer 2

a ∧ (b ∨ ¬ a)

Distributivgesetz

(a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬ a)

Negationsgesetz

(a ∧ b) ∨ 0

Neutralitätsgesetz

a ∧ b

Jetzt Nimmst du noch den 3. Term dazu

a ∧ b ∧ (¬ b ∨ c)

(a ∧ b ∧ ¬ b) ∨ (a ∧ b ∧ c)

(a ∧ 0) ∨ (a ∧ b ∧ c)

0 ∨ (a ∧ b ∧ c)

a ∧ b ∧ c

Comments

Nachvollziehbarer Lösungsweg! Vielen Dank.